Derivada del coseno. Ejemplos y ejercicios resueltos

El tema de la derivada del coseno es bastante consultado por personas que estudian matemáticas a nivel universitario. ¿Qué es una derivada? Con el nombre de derivada se conoce en matemáticas la rapidez con que cambia el valor de una función, en base a su variable independiente.

También, se considera que una derivada es un límite: es el límite al cual tiende la rapidez de cambio. Además, se estima para un intervalo. Desde el punto de vista matemático, se dice que la derivada es específica en un punto dado. Esto es fácil de percatar cuando se observa este cálculo aplicado en funciones gráficas.

Las derivadas tienen una enorme aplicación en el campo de la física. Son perfectas para calcular el movimiento con aceleración. En tal sentido, sucede que la derivada de la función entre distancia y tiempo es la velocidad. Por otra parte, la derivada de la velocidad es la aceleración.

Hay que decir que se pueden calcular derivadas en una gran cantidad de funciones. En cada caso, tienen usos distintos y capacidades diversas. Hay que decir que desde el punto de vista gráfico, una derivada es la recta tangente a la curva en un punto dado.

Las derivadas son de vital relevancia en el mundo del cálculo,el álgebra y mucho más. Son una herramienta grande, de enorme importancia que la gente debe saber utilizar para sacarle el mayor provecho. Además, las derivadas trigonométricas son vitales en el cálculo de rotaciones, electrónica y movimientos con aceleración.

Una vez hecha esta suerte de introducción, queremos ahora dar otras indicaciones acerca de este tema. En este caso, aproximarnos a las funciones trigonométricas. Ocurre que todas las razones trigonométricas provienen de un cálculo: seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

En el presente texto, hemos de adentrarnos en el tema de la derivada del seno y del coseno. Ambas razones trigonométricas están bastante influenciadas entre sí, sobre todo porque se articulan en la siguiente fórmula:

Sen2 α + Cos2 α = 1

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La anterior fórmula es una derivación del muy popular teorema de Pitágoras. En tal sentido, se puede inferir una fórmula para obtener el seno al partir del coseno. La misma es la siguiente:

Sen α = 1-Cos2

Se trata de una fórmula con la cual podemos empezar a diagnosticar el funcionamiento del seno como función y sus derivadas. Por otra parte, es muy útil para obtener el resto de las funciones trigonométricas.

Derivada del seno y coseno

Ocurre que la “derivada del seno” es el coseno. Por otra parte, la “derivada del coseno” es el seno con seno negativo. Esta es una implicación a la cual se arriba usando el concepto de límites.

Esto se demuestra valiéndose de los siguientes pasos:

  • Necesitamos expresar la función seno: f (x) = sen (x).
  • Luego estimamos la noción de límite: f(x) = límh→0 [sen (x+h) – sen (x) ] /h.
  • Lo anterior se puede expresar también de la siguiente manera: límh→0 [sen(x)· cos(h) + sen(h)· cos (x) – sen (x) ]/h.
  • Si agrupamos términos similares, nos resulta lo siguiente: límh→0 { sen (x)·[ cos (h)-1 ]+sen (h)·cos (x) }/h.
  • Considerando que el límite es igual a la suma de los límites, tenemos entonces lo siguiente: límh→0 sen (x) · [cos (h) – 1] /h + límh→0 sen (h) ·cos (x) /h.
  • Lo antes dicho nos lleva al hecho de que f(x) = cos (x).

Si invertimos los procedimientos antes descritos, tenemos que la derivada del seno es el coseno. Se trata de una interesante vinculación entre ambas razones trigonométricas, lo cual sirve para manejar mejor los cálculos en la llamada geometría analítica.

Hay que decir que existe una gran cantidad de fórmulas en razones trigonométricas que vinculan entre sí la cuestión de las derivadas. Algunas de las que podemos indicar son las siguientes:

Función Derivada
Seno (x) Coseno (x)
Coseno (x) -Sen (x)
Tangente (x) Sec2 (x)
Cotangente (x) -Cosecante2 (x)
Secante (x) Secante (x) Tangente (x)
Cosecante (x) -Cosecante (x) Cotangente (x)

Una de las grandes ventajas de las funcione trigonométricas, es que están muy vinculadas entre sí. De esa manera, sucede que teniendo una sola de estas razones, se puede calcular las demás. También, se puede estimar el valor de aspectos asociados a ellas, tales como las derivadas.

derivada coseno cuadrado

Derivada coseno cuadrado

Hay muchos tips relativos al uso de las funciones trigonométricas y sus derivadas. Insistimos en que se trata de trucos de cálculo que permiten mejorar notablemente el trabajo de quienes se dedican a cálculos de geometría analítica.

Algo bastante frecuente es toparse con la necesidad de hallar la derivada del coseno al cuadrado, siendo esta una función que se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

f(x) = cos2 x

Por medio de límites, se puede sacar a colación lo siguiente:

f’(x) = -2 sen (x) . cos (x)

Se dice de la siguiente manera: “la derivada de la función seno al cuadrado, es igual a menos dos veces el seno por el coseno”. Es importante dejar en claro que en este caso la variable X es un ángulo, al cual se le estiman las debidas razones trigonométricas.

Por otra parte, ocurre una particularidad. Sucede que la fórmula del seno del ángulo doble es la siguiente:

Sen (2α) = 2 Sen α. Cos α

Esta fórmula se puede aplicar para la derivada que acabamos de estudiar, dando en consecuencia:

f’(x) = -2 sen (2x)

Se trata de otra notación, misma que puede ser de gran utilidad en diversos casos. Por eso, es bueno conocerla y tenerla en cuenta.

Derivada coseno cubo

Así como hay una fórmula para el coseno al cuadrado, también se puede inferir una para el coseno al cubo. La misma se deduce con tips relativos a las derivadas, los límites y las cualidades de las funciones trigonométricas.

Toparse con una función de coseno al cubo es bastante común. Por ejemplo, se usa mucho en electrónica. Asimismo, sucede que se repite el caso en motores con rotación especial. Podemos decir que es un artificio matemático recurrente, el cual amerita conocer la derivada propicia para llevarlo a cabo.

Para saber cuál es la derivada del coseno al cubo, hay que recordar una cualidad particular de las derivadas. Se trata de la “derivada de la función exponencial”. Esta indica lo siguiente:

f(x) = an

f`(x) = n.an-1. a`

En este caso, se asume que a` es la derivada interna de la función de base con el exponente.

Tales conceptos los aplicamos a las funciones que queremos detallar. Al respecto, tenemos:

Derivada de cos3 (x) = 3 cos2 (x). [ cos`(x)]

Resulta que la derivada del cos (x) = -sen (x), por lo tanto tenemos ahora lo siguiente:

Derivada de cos3 (x) = -3 cos2 (x). sen (x)

De este modo, tenemos una fórmula muy sencilla; misma que podemos aplicar con facilidad en cualquier instancia que nos resulte necesario.

Ejercicios resueltos

Vamos a mostrar algunos casos en los cuales se resuelven derivadas de este tipo. Para ello, empezamos con lo siguiente:

  • Encontrar el valor de la derivada de f(x) = Cos2 (x), teniendo en cuenta como valores de x los siguientes: 30º, 45º y 60º.

Para hacer esta labor, aplicamos la fórmula de deducimos previamente:

f’(x) = -2 sen (x) . cos (x)

Ahora, hacemos los cálculos con cada uno de los ángulos que nos han solicitado, pero teniendo en cuenta que se trata de ángulos notables, por ende se conoce sus valores trigonométricos:

 

Ángulo coseno seno
30º 32 12
45º 22 22
60º 12 32

Lo que nos toca es sustituir valores y obtener resultados numéricos:

»Cuando X = 30º:

f’(30) = -2 sen 30 . cos (30)

f’(30) = -2 12. 32.

f’(30) = – 32.

»Cuando X = 45:

f’(45) = -2 sen 45 . cos 45

f’(45) = -2 22. 22.

f’(30) = – 1

»Cuando X = 60:

f’(60) = -2 sen 60 . cos 60

f’(60) = -2 32.12

f’(30) =  – 32

En el cálculo que acabamos de hacer se nota lo sencillo que es hacer estos cálculos si se conocen las fórmulas adecuadas. Vamos ahora a ver otro caso.

  • Encontrar el valor de la derivada de f(x) = Cos3 (x), teniendo en cuenta como valores de x los siguientes: 30º y 45º.

Aplicamos la fórmula previamente mencionada:

Derivada de cos3 (x) = -3 cos2 (x). sen (x)

»Cuando X = 30:

Derivada de cos3 (30) = -3 cos2 (30). sen (30)

Derivada de cos3 (30) = -3 (33)2 . 12

Derivada de cos3 (30) = -3 39 . 12

Derivada de cos3 (30) = – 12

»Cuando X = 45:

Derivada de cos3 (45) = -3 cos2 (45). sen (45)

Derivada de cos3 (45) = -3 (22)2. 22

Derivada de cos3 (45) = -3 24. 22

Derivada de cos3 (45) = 34

No cabe duda que son cálculos sencillos si se conoce de antemano los valores de las funciones trigonométricas, así como las fórmulas respectivas.  Por ello, es de gran ayuda saber y comprender los tips que acabamos de date en este post.

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