Cómo hacer derivadas paso a paso y ejercicios resueltos

Las derivadas, su concepto con respecto a las funciones y cómo se calcula es quizás uno de los temas más complejos, junto al de las integrales, en las matemáticas de bachillerato. Si estás comenzando ahora con este tema, queremos ayudarte para que lo comprendas sin problema de modo que te explicamos cómo hacer derivadas paso a paso y te ofrecemos ejemplos con ejercicios resueltos.

Qué son las derivadas

Antes que nada, queremos explicaros en pocas palabras que son las derivadas. Para hablar mejor de ellas, tenemos que decir que corresponden a la derivada de una función y a su cálculo. De este modo para calcular esta derivada de la función tenemos que calcular el valor correspondiente a un límite en el que se mide la razón a la que cambia la función con respecto a la variable a la que deriva y que representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Para que lo podáis entender con otras palabras podemos decir también que la Derivada es la tasa de cambio de una función y = f (x) en relación con x, dada por la relación ∆x / ∆y.

De este modo, considerando una función y = f (x), su derivada en el punto x = x0 corresponde a la tangente del ángulo formado por la intersección entre la línea y la curva de la función y = f (x), es decir, el coeficiente angular de la línea tangente a la curva.

De acuerdo con la relación ∆x / ∆y , tenemos que: a partir de la idea de la existencia del límite. Tenemos que la tasa de cambio instantánea de una función y = f (x) con respecto a x viene dada por la expresión dy / dx .

Debemos tener en cuenta que la Derivada es una propiedad local de la función, es decir, para un valor dado de x. Entonces no podemos involucrar toda la función. Observa el gráfico a continuación, muestra la intersección entre una línea y una parábola, función del primer grado y función del segundo grado, respectivamente:

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En la vida común, calcular derivadas nos puede servir para calcular velocidades y aceleraciones, así como para optimizar funciones, entre otras utilidades.

Veamos entonces ahora cómo hacer el cálculo de la derivada de una función paso a paso y que reglas de derivación existen para ello. Al final del post además, encontraréis ejercicios resueltos a modo de ejemplo.

Cómo hacer derivadas paso a paso y ejercicios resueltos

El cálculo de derivadas se puede hacer de dos maneras: usando la definición de derivada, que implica un límite que tiende a ser indefinido, o usando reglas de derivación, cuya operación está garantizada por el análisis matemático.

Primero, las derivadas, cuando existen, determinan la pendiente de la línea tangente a una función f (x). Esta pendiente también se conoce como la tasa de cambio y se usa para resolver los más variados tipos de problemas matemáticos. Para determinar esta pendiente, se debe calcular el límite a continuación. De esta manera, f ‘(x) es la derivada de la función f (x) y se dice que f (x) es derivable en el punto p. Para representarlo podemos aplicar esta fórmula.

f ‘(x) = lim f (x) – f (p)
x → p x – p

Las notaciones más utilizadas para la derivada de la función f (x) son: f ‘(x) o [ f (x)]’. Si estas derivadas se calculan en el punto p, las notaciones se convertirán en: f ‘(p) o [ f (p)]’.

Calcular este límite no es un gran desafío para las funciones polinómicas con grados 2 o 3, ya que las propiedades de límite garantizan que la suma de las sumas es igual a la suma de los límites y, por lo tanto, antes del límite de un polinomio, simplemente lo que tenemos que hacer es calcular los límites de cada monomio que han formado el polinomio. Sin embargo, las funciones polinómicas de muy alto grado u otros tipos de funciones imponen un alto grado de dificultad para calcular este límite. Por lo tanto, al buscar una mayor agilidad y facilidad para calcular derivadas, es posible probar los resultados posteriores, generalmente conocidos como propiedades derivadas o reglas de derivación.

Reglas de derivación

Supongamos que f (x) yg (x) sean funciones derivables y cualquier número real. Entonces, las propiedades valen del siguiente modo:

i) Si f (x) = a, entonces f ‘(x) = 0.

ii) Si f (x) = ax, entonces f ‘(x) = a.

iii) (Regla de caída) Si f (x) = x a , entonces f ‘(x) = a · x a – 1 .

iv) (Derivada de la suma) [f (x) + g (x)] ‘= f’ (x) + g ‘(x).

v) [af (x)] ‘= a · f’ (x).

vi) (Regla del producto) [f (x) g (x)] ‘= f’ (x) g (x) + f (x) g ‘(x).

vii) (regla del cociente):

Ejemplos:

Ejemplo 1: Calcular la derivada de f (x) = x 3

Por la regla de derivación:

f ‘(x) = 3x 3 – 1 = 3x 2

Ejemplo 2: Calcular la derivada de f (x) = 3x 4

Por la regla de derivación:

f ‘(x) = 4 · 3x 4 – 1

f ‘(x) = 12x 3

Ejemplo 3: Calcular la derivada de f (x) = √x

Por la regla de derivación:

f (x) = x 1/2

f ‘(x) = 1 x 1/2 – 1
2

f ‘(x) = 1 x –1/2
2

f ‘(x) = 1
2x 1/2

f ‘(x) = 1
2√x

Ejemplo 4: Calcular la derivada de f (x) = x 2 · (3x – 1)

Este problema se puede resolver simplificando el polinomio o usando la regla del producto:

f ‘(x) = 2x (3x – 1) + x 2 (3-0)

f ‘(x) = 6x 2 – 2x + 3x 2

f ‘(x) = 9x 2 – 2x

Ejemplo 5: Calcular la derivada de la función:

d (x) = 4x 3 + 1
5x 2

En el caso de la función d (x), tenemos las funciones f (x) = 4x 3 + 1 yg (x) = 5x 2 . Por lo tanto, usando la regla del cociente, tendremos:

Por lo tanto, según la regla del cociente, la derivada de la función d (x) viene dada por:

d ‘(x) = 12x 2 · 5x 2 – (4x 3 + 1) · 10x
(5x 2 ) 2

Imagen de la línea tangente, que se puede encontrar calculando derivadas

Tras explicaros las derivadas, cómo desarrollarlas y cómo se calculan os queremos dejar ejercicios resueltos para que podáis practicar con ellos. Os los dejamos en un enlace en PDF, para que lo descarguéis y podáis ver cada ejercicio, intentéis hacerlo en vuestro cuaderno y después podáis comprar la solución.

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