Dominio y recorrido de una función. Tipos y cálculos

En el mundo de las matemáticas, es indispensable conocer el dominio  y el recorrido de una función. Es la manera en que se puede saber el rango de acción de una función. Por ello, en el presente texto vamos a hablar sobre el dominio de una función. Asimismo, indicaremos el término recorrido de una función. A esto se añade ejemplos y ejercicios prácticos.

Qué es el dominio

Para definir muy bien lo que es el “dominio” de una función, previamente es necesario dejar en claro lo que es una “función”. ¿Qué es una función? Pues, para definirla hay que mencionarla junto a otros conceptos. Los mismos, se indican de manera sucinta a continuación.

  • Función: a una función se le puede entender como la relación entre dos conjuntos.  Se tiene como norma que a cada valor del primer conjunto (que se llama dominio”) le corresponde un único valor del segundo conjunto (llamado imagen).
  • Dominio: se entiende por dominio de una función al conjunto de partida de la misma. Se trata del conjunto donde existe dicha función, es decir, el conjunto numérico que dicha función puede transformar. Matemáticamente, de denota al dominio de la siguiente manera.

Df = {x ∈ X | ∃y  ∈ Y: F(x) = y}

  • Codominio o imagen: es el conjunto de llegada de la función. La función inicia en un conjunto que se transforma en el recorrido. Los resultados conforman un nuevo conjunto llamado codominio o imagen. Se trata del conjunto de valores que tiene la imagen al momento de la salida.

Con los elementos antes descritos, ya se puede tener una mejor noción de lo que es el codominio de una función. Vamos ahora a dar más detalles para que nuestros lectores conozcan más al respecto.

Qué es el Recorrido en una función

Por el recorrido se entiende el proceso por el cual los elementos del conjunto dominio pasan a convertirse en los elementos del conjunto imagen. Se trata de la función en sí misma. Muchas veces, se une la idea de recorrido a la idea de imagen o codominio. No obstante, es mejor entenderla, el proceso de conversión de elementos del dominio al codominio.

Desde un punto de vista matemático, el recorrido de una función se despereza de la siguiente manera: Recf=y∈ℝ / xDomf con fx=y. Importante indicar que está en la anotación de funciones dentro de los llamados “números reales”.

  • Rec: se trata del recorrido de la función. Igualmente, se puede notar de la siguiente manera Rec (f). Las funciones suelen trabajar con todos los números reales, o bien consol un subconjunto de los mismos.
  • La variable X es un número real que pertenece al dominio de la función. Por ende, suele recibir el nombre de variable independiente.
  • La variable y es también un número real, siendo llamada como “variable dependiente”. Su valor siempre se consigue aplicando la función F al valor de X. Por eso, siempre se suele denotar como: F(x) = y.

recorrido de una función racional

Igualmente, para entender la nomenclatura que te acabamos de presentar entonces debes tener en cuenta los siguientes símbolos:

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  • ∃; que significa: “existe un
  • ∀; que significa: “para todo
  • ∈; el cual significa: “pertenece a
  • /;  el significado de esta barra inclinada es: “tal que”

⊂ ; es símbolo significa: “subconjunto de”

Con la información antes mencionada, ya tienes idea de lo que es el dominio de una determinada función. ¿Qué nos corresponde mencionarte ahora? Pues, te indicaremos la manera de hallar este dominio.

Cuál es y cómo hallar el dominio y el recorrido de una función

En general, se dice que el dominio de una función es todo aquel conjunto de números a los cuales se puede aplicar la función. Casi siempre, la función es una determinada fórmula matemática. Por ende, para saber cuál es el dominio es menester tener muy en claro cuáles números hacen que una función de resultados sin problemas.

Para explicar mejor lo antes mencionado, vamos a mostrar algunos ejemplos de fórmulas que habitualmente se usan en las funciones. De esa manera, podemos apreciar que hay ciertos conjuntos de números que no se pueden aplicar a estas funciones.

  • Primer caso; funciones polinómicas sin denominadores ni raíces. Son funciones de las del siguiente tipo:

5x + 2

12×2 – 3x +1

X3 + 2×2 + X +2

En este caso, no existe ningún valor de “x” que haga que no surja una imagen “y”. Es decir, podemos sustituir la “x” por cualquier número real y siempre tendremos un resultado.

Por lo tanto, el dominio de estas funciones son todos los números reales.

  • Segundo caso; están las llamadas funciones racionales. ¿Qué son las funciones raciones? Son aquellas funciones que tienen una variable “x” en el denominador, es decir, se dividen por una variable. Algunos ejemplos son los siguientes:

3+xx

8x+2

x-32x-1

 

¿Qué implican estas fórmulas? Ocurre que cuando se efectúan solamente dan un resultado “y” cuando el valor de “x” no da como resultado el cero (0) en el denominador. Por ende, su dominio no son todos los números reales. En los casos mostrados vamos a mostrarlo:

3+xx

Esta función tiene como dominio todos los números reales, excepto el cero. Pues si x = 0, entonces no se puede hacer la división.

8x+2

En este caso, sucede que X ≠ -2; pues con este valor el denominador es cero y no se puede dividir.

x-32x-1

Ahora sucede que X ≠ ½. Si la variable es igual a esta fracción, sucede que el denominador es cero y tampoco se puede dividir.

  • Tercer caso; mencionamos ahora las funciones con raíces. En este caso, sucede que las raíces de índice impar siempre existen para todos los números reales. En cambio, las funciones de índice impar solo son posibles si el contenido dentro de la radicación es igual o mayor que cero. Veamos los siguientes casos:

2x-1

4x+3

Para entender lo antes dicho, vamos a ver cada caso particular.

2x-1

Esta función solo existe si 2x-1 ≥ 0. Esto solo ocurre si x≥ ½. Es decir, la función

4x+3

Ahora, sucede que esta función es válida solo si 4x +3 ≥ 0; lo cual sucede si x ≥ -3/4

Cuarto caso; toca ahora hablar de las funciones logarítmicas. Estas se presentan cuando la variable “x” está dentro de un logaritmo. Algunos casos:

Log (x-3)

Log (x)

Log (5+3x)

Estas funciones existen solo si el logaritmo no es cero ni un número negativo. Por ejemplo:

Log (x-3); su dominio es aquel conjunto donde x-3 > 0. Es decir, cuando x >  3

Log (x); su dominio ocurre cuando x > 0

Log (5+3x), existe cuando 5+3x > 0; lo cual sucede si x > -5/3

¿Qué se infiere de todo lo indicado? Pues, que es necesario saber bien los criterios con los cuales se lleva a cabo la fórmula de la función. Solo de esa manera, se logra determinar exactamente el dominio de la misma.

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Cómo calcular el recorrido de una función

El recorrido de una función no es otra cosa que la imagen de la misma. Es decir, el conjunto de números que se obtienen luego de que al dominio se le aplican variables en la fórmula. En el criterio de F(x) = y; sucede que el recorrido son todos los valores que puede tomar “y” a partir de “x”.

Ocurre que no hay un método específico para calcular el recorrido de una función. En dado caso, hay dos tácticas para estimarlo. La primera es el llamado “método gráfico” y la segunda es por el método de la “función inversa”. Vamos a describir ahora cada uno de estos casos.

  • Método gráfico: si la función tiene una gráfica clara en el plano cartesiano, entonces se basta con proyectar esa gráfica sobre el eje y. De esa manera, se sabe el conjunto de imagen de esa función. A veces, la función está acotada. Pero en otros casos, va desde un número hasta infinito.
  • Método de función inversa:

Solamente es válido en las funciones inyectivas, es decir, en aquellas donde para cada elemento de “x” hay solo una imagen en “y”. Es decir, que no se repiten ni se cruzan valores entre el dominio y el codominio. En estos casos, se hace la fórmula F(x) = y; y se intercambian “x” con la “y”. Por ejemplo:

3x + 2 = y

Cambiando tenemos: 3y + 2 = x

Ahora despejamos “y”; lo cual implica: y = x-23

Este despeje de y da como resultado una función, cuyo dominio es el recorrido de la función original.

Ejercicios de dominio y recorrido de funciones

Para cerrar este tema, vamos a dar algunos casos de funciones con sus dominios. Un par de ejemplos bastan para ello.

Ejemplo 1: dominio de la función  2x-3 x-2

Para este caso, es menester que x -2 ≠ 0; lo cual solo sucede si x ≠ 2. Es decir, su dominio son todos los números reales menos el 2.

Ejemplo 2: dominio de la función  2x+2x-5

Se deben cumplir un par de condiciones.

La primera condición es que   2x+2x-5  ≥ 0. Esto sucede cuando: x ≥ -7.

La otra condición es que x -5 ≠ 0. Es decir, que x ≠ 5.

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