El uso de derivadas logarítmicas es algo que puede llegar a ser bastante solicitado. Lo cierto es que se requiere de ciertos conocimientos para llevar a cabo estas operaciones matemáticas. En dado caso, un error bastante frecuente es confundir las derivadas logarítmicas con las derivadas exponenciales.
Por ello, uno de los tópicos que pensamos indicar es precisamente la desemejanza entre ambas. Igualmente, es menester dejar en claro los conceptos de “derivada” y de “logaritmo” antes de avanzar con el contenido del presente post.
- Derivada: es un término de la geometría analítica. Se trata de un límite. Se trata de la razón de cambio de una función, el cual se considera en cierto intervalo. No obstante, al ser un límite se convierte en un punto. Indica la pendiente de una recta tangente a una curva de función. Se usa para saber la magnitud del cambio de una variable. Por ejemplo, sucede que el cálculo de la aceleración se hace con derivadas, ya que la misma es la derivada (cambio) de la velocidad.
- Logaritmo: con este nombre, se denomina a una operación referente a la potenciación. La misma consiste en hallar la potencia necesaria en una base, para hallar un determinado número. Se trata de la operación inversa a la potenciación; del mismo en que la resta es inversa a la suma, y que la división es opuesta a la multiplicación.
Hay ciertas normas para expresar los logaritmos. Se dicen que un logaritmo de base b es el que se indica de la siguiente manera:
Logb X = n bn = X
Es decir, el logaritmo es aquel número que al ser exponente de la base, da como resultado X. Se trata de una excelente herramienta de cálculo, ya que permite simplificar muchas operaciones. No obstante, la función logarítmica también es capaz de ser derivable. Por ello, hemos decidido abordar este tema en los párrafos de este post.
Por otra parte, hay que tener en cuenta que también existen diversos tipos de logaritmos. Este es un dato que influye notablemente en su método de derivación. En tal sentido, indicamos que los tipos de logaritmos son los que mencionamos a continuación:
- Los logaritmos de base 10: son los que tienen como base el número 10. También reciben el apelativos de “logaritmos decimales” o de “logaritmos vulgares”. Para representarlos, se escriben de la siguiente manera: Log X. Es decir, no es necesario colocar la base, ya que se sobreentiende.
- Los logaritmos neperianos: también conocidos con el nombre de “logaritmos naturales”, son aquellos que tiene como base el número e. Este último es un número irracional, es decir, tiene una infinita cantidad de decimales, siendo su valor e = 2.718281828… Ocurre que estos logaritmos se representan como In.
Una vez aclarados estos aspectos, toca ahora hacer una referencia a la derivación de las funciones logarítmicas. Al respecto, procedemos a dar información en los parágrafos que se explayan a continuación.
Derivada de una función exponencial y logarítmica
Nuevamente, debemos hacer algunas aclaratorias. Nos corresponde ahora a insistir en que no es lo mismo una función exponencial que otra logarítmica. En dado caso, ya hemos dicho que la logaritmación es lo contrario a la potenciación. En tal sentido, no toca hacer ciertas distinciones entre las funciones de ti para potencial de las funciones de tipo logarítmico. Al respecto, hacemos las siguientes salvedades:
- La función exponencial: esta función tiene como sesgo que su argumento X se presenta siempre como exponente. La misma puede expresarse de la siguiente manera: f (x) = bx. Cuando X =1, entonces en Y = B. La manera en que crece esta función es directamente proporcional al valor de la derivada.
- La función logarítmica: es una función que se expresa de la siguiente manera, f (x) = loga X. Es decir, es diferente de la función exponencial. Se caracteriza por que su gráfico es un espejo de la curva de la función exponencial. Es decir, son simétricas entre sí. Lo que demuestra que los elementos del dominio de una de ellas, son los del codominio de la otra.
Una vez aclarado lo tocante a las diferencias entre ambas funciones, hay que tener en cuenta que los métodos de derivación en cada una de ellas también son diferentes. En dado caso, sucede que en este post nos centramos en describir los aspectos de derivación de las derivadas logarítmicas. Los detalles al respecto los indicamos en las siguientes secciones de este post.
Cómo resolver derivadas logarítmicas
Ahora nos toca estudiar el meollo del tema propuesto en este texto. Tenemos que indicar cómo se calculan las derivadas de las funciones logarítmicas. En dado caso, antes es necesario tener en cuenta ciertas propiedades de los logaritmos:
- Log A + Log B = Log AB (el logaritmo de A más el logaritmo de B es igual al logaritmo del producto de A x B).
- Log A – Log B = Log A/B (el logaritmo de A menos el logaritmo de B es igual al logaritmo de del cociente obtenido en A ÷ B).
- A Log B = Log BA (el producto de “A” por el “logaritmo de B” es igual al logaritmo de B con potencia A).
Y aclarados los tópicos antes mencionados, toca ahora abordar la derivación de las funciones de tipo logarítmicas. Para ello, se sigue las reglas que mencionamos a continuación:
Con el par de fórmulas antes mencionadas, se logra hacer el trabajo de derivación. En dado caso, es necesario hacer algunos ejercicios prácticos para llevarlo a cabo de manera correcta. A continuación, presentamos algunos ejemplos al respecto.
Ejercicios
Presentamos una serie de ejercicios, seleccionados de manera didáctica. Nuestra intención es evidenciar la aplicación del método de derivación de fórmulas logarítmicas de manera que los lectores lo puedan entender y aplicar.
- Ejercicio 1:
Vamos a empezar con este primer ejemplo; f(x) = In 1-x1+x
Para poder hacer el cálculo con sencillez, vamos primero a aplicar las propiedades de los logaritmos. De esa manera, la expresión antes indicada queda de la siguiente manera:
f(x)= In (1-x) – In ( 1+ x)
Bajo este formato, es más fácil hacer el cálculo de la derivada; misma que se efectúa de la siguiente manera:
Como se puede apreciar, al aplicar las propiedades de los logaritmos se puede hacer mucho más sencillo. Por ello, nos hemos esmerado en detallarlas al inicio del presente texto. Igualmente, queremos insistir en que se deben conocer estas propiedades para hacer siempre bien los cálculos, tal y como se aprecia en los ejemplos subsiguientes.
- Ejercicio 2:
Tal y como hicimos previamente, lo primero es valerse de las propiedades de los logaritmos para simplificar el cálculo de las derivadas. Se hace de la siguiente manera:
Ocurre que el cálculo de los logaritmos es de gran utilidad en varios aspectos. Por ello, conocer su correcta derivación es también de relevancia. Es por eso que hay que saber hacer los pasos de manera adecuada, sintetizando el cálculo y muy atento a cada uno de los respectivos detalles.
- Ejercicio 3:
Vamos ahora a mencionar el siguiente ejercicio: f(x) = In (3×2 – 3x + 7)
derivadas logarítmicas
Queremos insistir en que la clave de las derivadas de este tipo se encuentra en simplificar la función, o bien en acomodarla de manera que el cálculo de la derivación pueda hacerse sin inconvenientes. En tal sentido, se amerita que la persona practica de manera constante para poder hacer los acomodos necesarios en tales casos.
- Ejercicio 4:
Veamos el siguiente caso, la función f(x) = In 9x
Entonces, lo que corresponde es seguir la fórmula para hacer los logaritmos:
Es importante mencionar que las derivadas siempre deben ser expresadas de la manera más sencilla posible. De esa manera, se le suele utilizar con mayor efectividad en cálculo. Es por ello que insistimos en simplificar el resultado de la derivación hasta su mínima expresión.
Con todo lo que hemos mencionado, esperamos que nuestros lectores hayan tenido una visión didáctica de la derivación de los logaritmos. Tanto el uso de los logaritmos, como de sus respectivas derivadas, es algo que tiene una enorme utilidad en nuestra época. Esa es la razón por la cual nos hemos animado a elaborar el presente texto. Estamos seguros que se trata de información de gran utilidad para personas que están interesadas en asuntos de la matemática. Por ello, esperamos que nuestros lectores puedan valerse de este texto para comprender mejor los cálculos aquí expresados.