Las ecuaciones de segundo grado son bastante comunes. Se usan mucho en geometría, y son de especial valor para hacer cálculos en la trigonometría. Uno de sus rasgos es que tienen dos resultados, a diferencia de las ecuaciones simples que ostentan un solo resultado.
¿Qué es una ecuación de segundo grado? Se trata de una ecuación donde la incógnita está elevada al cuadrado. Por ende, para hallar la solución es necesario pasar por el proceso de radicación. Además, esta incógnita muchas veces aparece repetida: una vez al cuadrado (con exponente 2) y con exponente uno.
La solución de ecuaciones de este tipo implica seguir ciertos pasos y tener una gama de conocimientos. En el presente texto, explicaremos a nuestros lectores cómo hacer una ecuación de segundo grado. Además, indicaremos la fórmula necesaria para su solución. Igualmente, explicaremos lo que son las ecuaciones de segundo grado incompletas.
1. Cómo hacer ecuaciones de segundo grado
Una vez explicado lo anterior, dejamos en claro la manera de hacer las ecuaciones de segundo grado. Para ello, se necesita ordenar la ecuación de manera que sus partes queden claramente definidas. En dado caso, las partes de una ecuación de segundo grado son las siguientes:
▪Una incógnita elevada al cuadrado, misma que suele estar acompañada de un número que la multiplica.
▪Una incógnita con el exponente uno.
▪Una cantidad independiente, que no multiplica la variable.
Vamos a ver un ejemplo. Al respecto, tenemos las siguientes ecuaciones:
- 6X2 + 2X + 3 = 0
Aquí el primer término de la ecuación es 6X2, mismo que representa la variable elevada al cuadrado.
Luego, el segundo término de la ecuación es 2X el cual representa la variable elevada a potencia simple.
Por último, el tercer término de la ecuación es 3, mismo que representa la cantidad independiente, sin multiplicar la variable.
- 3X2 + 8 =0
Esta ecuación debe ordenarse, ya que a primera vista no aparece el segundo término (con la variable de exponente sencillo). En realidad, lo que pasa es que la X (con exponente 1) está multiplicada por cero. Por ende, la ecuación ordenada queda de la siguiente manera: 3X2 +0X+ 8 =0.
El primer término de la ecuación es 3X2, siendo el que representa la variable elevada al cubo. El segundo es 0X, que representa la variable elevada a exponente sencillo. El último es 8.
- -X2 -4x + 8 =0
En este caso, la variable al cuadrado es -X2. La variable con exponente uno es -4X. El término independiente es 8.
- -3X2 = 0
Se trata nuevamente de una ecuación de segundo grado incompleta (sobre las ecuaciones de segundo versamos más en detalle en otras secciones de este post). En dado caso, es necesario ordenarla para que quede de la manera que indicamos: -3X2 + 0X + 0 = 0
Sucede que el primer término de esta ecuación es -3X. El segundo término corresponde a 0X y el último término (el independiente) es cero (0).
Importante: ordenar y completar las ecuaciones es un paso relevante. Hay que tenerlas en orden para aplicar la fórmula que permite resolverlas. Dicha fórmula es la que nos toca describir en el siguiente apartado de este texto.
1.1 Fórmula
¿Cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado? Para ello, debe aplicarse una fórmula, misma que presentamos a continuación:
x=-bb2-4ac2a
Ahora bien, ¿cuáles son los términos a, b y c? Para conocerlos, es menester saber ordenar la ecuación de segundo grado, ya que los términos corresponden a lo siguiente:
Ax2 + bx + c = 0
Lo anterior quiere decir que:
▪El valor a = al término que multiplica la variable elevada al cuadrado (primer término de la ecuación).
▪El valor de b = equivale al término que multiplica la variable con exponente sencillo (segundo término de la ecuación).
▪El valor c = al término independiente, es decir, el número que no multiplica a ninguna de las variables de la ecuación (tercer término de la ecuación).
Vamos a ver lo anterior con varios ejemplos:
- 3x2 + 8x -3 = 0
En este caso a = 3, b = 8 y c= -3
- -7x2 + x +4 = 0
En este caso a = -7, b =18 y c= 4
- 1/2x2 + 3x +2/3 = 0
En este caso a = 1/2, b =3 y c= 2/3
Como se puede notar, es necesario ordenar bien la ecuación para saber el valor de los términos a, b y c. ¿Pero qué pasa cuando la ecuación no tiene algunos de sus términos? Esto es algo que explicamos a continuación.
2. Ecuaciones de segundo grado incompletas
¿Qué son las ecuaciones de segundo grado incompletas? Son aquellas donde falta alguno de los tres términos de una ecuación de segundo grado. Ya hemos hablado sobre esto en párrafos previos, pero vamos a aclararlo.
▪Por ejemplo, la ecuación: 2x2 + 1 = 0
Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta, ya que le falta el segundo término; es decir, el que multiplica a la variable con exponente sencillo.
Es necesario ordenar la ecuación para que quede con sus tres términos expresados, siendo que debe quedar así: 2×2 + 0x + 1 = 0.
En base a lo anterior, los términos a, b y c (necesarios para resolver la ecuación según la fórmula) quedan de la siguiente manera: a= 2, b = 0, y c = 1.
▪Veamos la ecuación: 3x2 +3x = 0
Es otra ecuación de segundo grado incompleta. Falta el tercer término, por ende es menester ordenarla de la siguiente manera: 3×2 + 3x + 0 = 0
Sucede que los términos a, b y c quedan de esta manera: a = 3, b = 3 y c = 0.
▪Otro ejemplo, la ecuación: 7x2 = 0
Esta ecuación es incompleta, pues le faltan dos términos. Hay que ordenarla para que quede de la siguiente manera: 7×2 + 0x + 0 = 0
Importante: cuando las ecuaciones de segundo grado solo tienen la variable elevada al cuadrado, entonces el valor de la X siempre es igual a cero.
3. Problemas de ecuaciones de segundo grado
Hay muchos casos donde se usan las ecuaciones de segundo grado. Uno bastante frecuente es el caso del Teorema de Pitágoras, el cual dice que: “en todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado”. Esto se expresa así:
(cateto 1)2 + (cateto 2)2 = (hipotenusa)2
Por ende, si sabemos el valor del cateto 1 y de la hipotenusa, nos toca despejar. El resultado es una variable elevada al cuadrado.
También, sucede que las ecuaciones de segundo grado se usan en física; sobre todo en el movimiento con aceleración.
Es necesario dominar el uso de estas ecuaciones. Por ello, mostramos a continuación varios ejercicios al respecto.
4. Ecuaciones de segundo grado resueltas
Vamos ahora a mostrar algunas ecuaciones de segundo grado con su solución. Hemos elegido ejemplos diversos, que sirven de enseñanza a los lectores de este post:
- Resolver la ecuación: x2 + 3x -2 = 0
Lo primero es identificar los términos: a = 1, b = 3 y c = -2. Ahora los colocamos en la fórmula de las ecuaciones de segundo grado:
x=-bb2-4ac2a
x=-332-41(-2)2(3)
x=-39+86
x=-3176
x=-34,126
A partir de este punto, nos toca trabajar dos resultados debido al símbolo ±, siendo estos resultados los siguientes:
x1=-3+4,126 = 1,126 = 0,186….
x2=-3-4,126 = 7,126 = 1,186….
Sucede que todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones. Tales soluciones deben hallarse y usarlas según sea conveniente en cada caso.
Es importante saber ordenar de manera adecuada la ecuación. Solo de esa manera se logra obtener los adecuados valores de los términos a, b y c. Por otra parte, nunca olvidar que se debe buscar los dos resultados que necesita la ecuación.
5. Resolver ecuaciones de segundo grado
Hay muchos casos especiales. Por ejemplo, cuando las ecuaciones están incompletas. Para ello, se amerita resolver bien el ordenamiento de la ecuación. Al respecto, tenemos el siguiente caso:
▪Resolver la ecuación 3x2 + 2 = 0
Hay que ordenar la ecuación de manera correcta: 3×2 + 0x – 2 = 0.
Los términos a, b y c quedan de la siguiente manera: a = 3, b = 0 y c = -2.
Aplicamos ahora la fórmula:
x=-bb2-4ac2a
x=-002-4 3(-2)2 (3)
x=246
x=4,896
x= ± 0,815
En este caso, los dos resultados de la ecuación de segundo grado son: 0,815 y -0,815. Es decir, mismo valor numérico pero con signos contrarios.
Un dato importante: cuando las ecuaciones de segundo grado no tienen el segundo término, se pueden resolver por un simple despeje. Veamos el caso anterior resuelto con otro método:
3×2 + 2 = 0
3×2 = -2
x2 = -2/3
x= -2/3
Solo que ocurre un detalle, el valor de lo que está dentro de la raíz debe tomarse como valor absoluto y luego tomar el resultado con valor negativo y positivo. Es decir, hacer lo siguiente:
x= 2/3
X = 0,816
En este caso, se asumen dos valores: + 0,816, así como el valor – 0,816.
▪Resolver la ecuación 3x2 + x = 0
Se trata de otra ecuación incompleta, a la cual le falta el tercer término. Es necesario entonces hacer lo siguiente: 3×2 + x + 0 = 0; lo cual hace que los valores de a, b y c queden de la siguiente manera: a = 3, b = 1 y c = 0. Aplicamos entonces la fórmula de ecuaciones de segundo grado:
x=-bb2-4ac2a
x=-112-4(3)(0)2 (3)
x=-116
x=-116
x 1=-1+ 16= 06=0
x 2=-1- 16= -26=-0,666
Es decir, que la ecuación planteada queda con los resultados x (1) = 0, y x (2) = -0,666.
6. Ejercicios
Las matemáticas son eminentemente prácticas. Por ello, es necesario hacer ejercicios de manera constante para dominar el cálculo. Es por ello que hemos planteado los siguientes ejercicios:
- x2 + x + 1 = 0
- 2×2 – 3x – 3 = 0
- 8×2 + 2x = 0
- 7×2 + 3x – 4 = 0
- 8×2 – 3x = 0
- 1/2×2 + 7x – 6 = 0
- 2×2 – x – 1 = 0
Esperamos que la información compartida sea de utilidad a nuestros lectores. Sin duda, resolver estas ecuaciones resulta de enorme utilidad.