¿Cuáles son los números naturales y los sistemas de numeración? Este es uno de los temas quizás más complejos o largos para aquellos que se preparan las oposiciones de Enseñanza Secundaria, de modo que te lo explicamos con detalle y de manera que sea comprensible y sencilla.
Números naturales y sistemas de numeración – Temario secundaria
Los números naturales son aquellos números que forman parte de un sistema de numeración, pero su característica principal es que pueden contar los elementos de un conjunto. Estos son números como por ejemplo el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 los cuáles no solo forman un número natural como tal sino que además cuando los multiplicamos o sumamos entre sí, o con cualquiera de sus elementos, también dan como resultado un número natural (por ej, 2×3=6; el 2 y el 3 son números naturales y también lo es el 6).
Son números evidentemente ilimitados (por ejemplo si a cualquier número naturas le sumamos 1, obtendremos otro número natural, y así sucesivamente), y suelen representarse ordenados en una recta de menor a mayor.
El sistema de numeración por su parte es un conjunto de reglas que se utilizan para que podamos nombrar y escribir los números, como por ejemplo el sistema de numeración binario o el sistema de numeración decimal.
Definición axiomática de los números naturales
Para definir los números naturales y entenderlos mejor dentro de los sistemas de numeración, podemos recurrir a la llamada definición axiomática de los números naturales que hace referencia a los axiomas de Peano, también conocidos como postulados de Peano, y que en teoría numérica son cinco axiomas introducidos en 1889 por el matemático italiano Giuseppe Peano.
Al igual que los axiomas para la geometría ideados por el matemático griego Euclides ( c. 300 a . C. ), los axiomas de Peano estaban destinados a proporcionar una base rigurosa para los números naturales (0, 1, 2, 3, …) utilizados en aritmética, la teoría de números y la teoría de conjuntos . En particular, los axiomas de Peano permiten generar un conjunto infinito mediante un conjunto finito de símbolos y reglas.
Los cinco axiomas de Peano son:
- Cero es un número natural.
- Cada número natural “n”tiene un sucesor “n” en los números naturales.
- Cero no es el sucesor de ningún número natural.
- Si el sucesor de dos números naturales “n” y “m”es el mismo, entonces los dos números originales “n” y “m”son iguales o el mismo número natural.
- Si un conjunto contiene el cero y el sucesor de cada número está en el conjunto, entonces el conjunto contiene los números naturales.
El quinto axioma se conoce como el principio de inducción porque puede usarse para establecer propiedades para un número infinito de casos sin tener que dar un número infinito de pruebas. En particular, dado que P es una propiedad y tiene cero P y que cada vez que un número natural tiene P también tiene su sucesor P , se deduce que todos los números naturales tienen P .
En los cinco axiomas de Peano explicados hemos considerado el cero como un número natural, pero en algunos libros o algunos matemáticos suelen mencionar el 1 y no el 0 en los cinco axiomas señalados.
La adición en los números naturales
Los números naturales tienen entre sus operaciones la de la adición o suma. Para obtener la suma, debemos unir dos o más números.
El símbolo que representa la suma es (+). Cuando obtenemos una suma, estamos agregando gráficos.
La suma de números está relacionada con algún conjunto numérico. Para el conjunto de números naturales , la suma siempre será con números enteros positivos.
Representamos los números naturales de la siguiente manera:
Al realizar la suma, debemos preocuparnos por el valor posicional del dígito. Esto se debe a que cada dígito tiene un orden decimal , es decir, unidad, diez, cien, unidad de miles, entre otros. Ver algunos ejemplos:
- Número 28 → Números 2 y 8
Valor posicional / orden → 8 unidades y 2 decenas. - Número 1324 → Número 0, 1, 3, 2 y 4
Valor posicional → 4 unidades, 2 decenas, 3 cientos y mil unidades - Número 356 → Número 3, 5 y 6
Valor posicional → 6 unidades, 5 decenas y 3 centenas - Número 62 → Número 6 y 2
Valor posicional → 6 decenas y 2 unidades.
Para agregar números naturales, debemos colocar dígitos de igual orden en la misma alineación vertical (el llamado algoritmo de la suma). Echa un vistazo a los ejemplos a continuación:
a) 2524 + 23 =
Porción: 2354
Porción: 23
Suma ?
Número → 2354
Números → 2, 3, 5 y 4
Valor posicional → 4 unidades, 5 decenas, 3 cientos y 2 mil unidades.
Número → 23
Números → 2 y 3
Valor posicional → 3 unidades (U) y 2 decenas (D).
Algoritmo de adición:
2354
+ 23
2377
Ten en cuenta que agregamos:
4 unidades + 3 unidades = 7 unidades
5 decenas + 2 decenas = 7 decenas
3 unidades de centena + 0 unidades de centena= 3 unidades de centena
3 unidades de miles + 0 unidades de miles = 2
La suma obtenida de la suma de 2354 + 23 es 2377.
b) 632 + 18 =
Porción: 632
Porción: 18
Suma ?
Número → 632
Números → 6, 3 y 2
Valor posicional → 2 unidades, 3 decenas y 6 centenas
Número → 18
Números → 1 y 8
Valor posicional → 1 unidad y 8 decenas.
Algoritmo de adición:
632
+18
650
Ten en cuenta que agregamos:
2 unidades + 8 unidades = 10 unidades. Como 1 docena es igual a 10 unidades, debemos dejar el número cero en el orden de la unidad y sumar 1 docena al número 3 y 1.
1 docena + 3 decenas + 1 docena = 5 decenas
6 centenas + 0 centenas= 6 centenas
Casos de adición
Hay dos casos más recurrentes para la adición, que son:
Añadir diferentes cantidades:
Ejemplo: una clase tiene 15 niñas y 17 niños. Calcula el total de estudiantes.
En este caso, tenemos que los niños son diferentes de las niñas, pero como todos son estudiantes, podemos sumarlos.
115 → Porción
+17 → Porción
32 → Suma
En el aula, tenemos 32 estudiantes.
Nota : 5 + 7 = 12. La descomposición de 12 es igual a 1 docena + 2 unidades. Por esta razón, dejamos el número 2 en el orden de la unidad y agregamos 1 docena en el orden de las decenas.
Agrega una cantidad a otra de la misma variable:
Ejemplo: el valor de un sofá a la vista es de € 650.00. En el plazo de pago, se agregan € 120,00. ¿Cuál es el monto total que se pagará si el sofá se compra a plazos?
La variable de esta pregunta es el dinero, por lo que debemos agregar valor al valor en efectivo.
650 → Plazo
+120 → Plazo
770 → Suma
Si el sofá se compra a plazos, su valor será de €770.00.
La multiplicación en los números naturales
Multiplicar significa expresar el aumento de cantidades, realizamos la multiplicación para reducir la operación de la suma, por lo que la multiplicación es una herramienta matemática que permite la reducción de los cálculos numéricos de la suma. Mira cómo puede suceder esto.
2 + 2 + 2 + 2 = 8
2 x 4 = 8
Ten en cuenta que además el número dos se repitió cuatro veces, mientras que en la multiplicación, el término numérico dos se multiplicó por cuatro, que es el número de repeticiones que el número dos tuvo en la suma. Es posible notar que la respuesta obtenida es la misma, en la operación de suma que en la operación de multiplicación.
Los términos numéricos que componen una multiplicación tienen un nombre. Los primeros y segundos términos numéricos de multiplicación se llaman factores, mientras que el resultado de la multiplicación se llama producto .
2 → Factor x 3 → Factor
6 → Producto
El primer conjunto numérico que utilizamos para realizar cálculos de multiplicación es el conjunto de números naturales, que como ya sabemos es un conjunto infinito, formado por términos que son positivos. Aquí hay un ejemplo de este conjunto:
En el sistema de numeración decimal , cuando realizamos la multiplicación de números naturales , los términos que componen los factores pueden tener órdenes y clases distintas. Cuando esto sucede, debemos estructurar el algoritmo de multiplicación considerando el número más grande para el primer factor.
C | D | U → Unidad (U) , Decena (D) y Centena (C)
2 5 0 → El mayor factor de multiplicación será el primer factor.
x 2
Para obtener el producto de la multiplicación de términos numéricos, donde el orden del segundo factor es la unidad , debemos proceder de la siguiente manera:
CDU
2 5 0
x 2
0 → Este es el producto de las unidades 2 x 0 = 0.
CDU
¹2 5 0
x 2
0 0 → Multiplicar la unidad del segundo factor por la décima parte del primer factor: 2 x 5 = 10 decenas.
No puedes dejar el número 10 en la respuesta del producto, así que haz la siguiente conversión numérica: 10 decenas = 100 unidades, 100 unidades = 100.
Debemos poner el número 0 en el producto de las decenas y sumar 100 en el número 2 del número 250.
C DU 50
2 50
x 2
5 0 0 → Multiplicar por 2 cientos x 2 cientos = 4 cientos y hacer la suma: 4 cientos + 100 = 5 cientos. Este número 5 debe colocarse en la respuesta del producto en el orden de cientos.
Obtenemos como producto de la multiplicación de 250 por 2 el número 500. Recuerda siempre que en la multiplicación de números naturales, el producto generado siempre será positivo.
Cuando el orden del segundo factor es diez, debemos cambiar la respuesta para que el producto de la decena se un cero y luego sumar los resultados obtenidos de izquierda a derecha. Cuando aumenta el orden del segundo factor, la respuesta para el primer producto de dígitos del factor por el segundo factor se desplazará un cuadrado a la izquierda. Mira el ejemplo:
CDU
250
x 12
500
+250
3000 → 0 unidades, 0 decenas, 0 centenas y 3 unidades de millar.
Es importante tener en cuenta que la suma de: 5 centenas + 5 centenas = 10 centenas corresponden a 1000 unidades. Entonces sumamos el número 1 al número 2, obtenemos 3 unidades de mil. Por lo tanto, tenemos el producto de 250 x 12 = 3000.
Orden en el conjunto de los números naturales. Primera parte
Los números representan cantidades, pero hay algunos números naturales que representan más que otros. Podemos decir que hay números naturales más grandes o más pequeños que el otro. Esta relación se llama orden .
Para representar que un número es mayor que otro, utilizamos el ” mayor que” que se representa con el símbolo “>”. Colocamos en el lado izquierdo del símbolo que es más grande, y el más pequeño se coloca en el otro lado .
Por ejemplo, sabemos desde que somos pequeños que el 5 representa un número mayor que 3 . En este caso escribimos así: “5>3”. Esta expresión debería leerse como “Cinco es mayor que tres”.
También usamos el símbolo, que se lee como “más pequeño que” y que se representa al revés que el anterior, es decir, “<“. De esta forma podemos representar la relación por ejemplo “3<5” es decir, “tres es menor que cinco “. Una forma práctica de recordar cómo escribir estas relaciones es mediante el uso de un historia: Al principio , el pez grande siempre persiguió a los pequeños … Pero los pequeños se juntaron y ahora todos juntos persiguen al gran pez . Por esta razón, la boca de señal siempre se dirige al pez más grande:
Orden en el conjunto de los números naturales. Segunda parte
Lo visto en la primera parte del orden en el conjunto de los números naturales es bastante sencillo, pero queremos profundizar un poco más y hablaros también del orden que hacer referencia a la ley de tricotomía que dice que cualquier par de números naturales, como por ejemplo a y b, tienen una única relación de orden que es verdadera.
En este sentido:
- A<B
- A=B
- A>B
Solo una de estas afirmaciones es la correcta, de modo que vamos a tomar dos números naturales para que representen las letras indicadas. Por ejemplo 6 y 4
Entonces:
- 6<4
- 6=4
- 6>4
De las tres, solo la última relación de orden, “6>4”, es la verdadera. Las otras dos serán falsas.
Sistemas de numeración
Los sistemas de numeración son el modo en el que se ordenan los números naturales. La conversión entre sistemas numéricos se realiza en base a reglas. El número de dígitos disponibles en un sistema de numeración se denomina base, y la representación numérica más utilizada es la notación posicional (el valor asignado a un símbolo depende de su posición en un conjunto de símbolos).
Estos son algunos de los sistemas de numeración más utilizados:
- Decimal (base 10)
- Binario (base 2)
- Octal (base 8)
- Hexadecimal (base 16)
Sistemas decimales
Como se mencionó, el sistema decimal es el sistema más utilizado por los humanos, generalmente para indicar cantidades, y consta de diez dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .
En el sistema decimal, cada dígito tiene un valor posicional, es decir, cada dígito tiene un peso de acuerdo con su posición en la representación del valor.
Sistema binario
El sistema binario es el sistema más utilizado por las máquinas, ya que los sistemas digitales funcionan internamente con dos estados (encendido / apagado, verdadero / falso, abierto / cerrado). El sistema binario usa los símbolos: 0, 1 , cada símbolo designado por bit ( digitación binaria ).
Sistema octal
El sistema octal es un sistema de numeración de 8 bases, es decir, utiliza 8 símbolos ( 0,1,2,3,4,5,6,7 ) para representar un valor dado. El sistema octal se ha utilizado ampliamente en el mundo de la informática como una alternativa más compacta al sistema binario en la programación de lenguaje de máquina.
Sistema hexadecimal
Sistema de numeración ampliamente utilizado en la programación de microprocesadores, especialmente en equipos de estudio y sistemas de desarrollo. Utiliza símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 el sistema decimal y las letras A, B, C, D, E, F . Equivalencias: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15.