Números reales y topología de la recta real – Temario secundaria

Casi todos los números que aparecen en las matemáticas de secundaria son números reales, que son los números que se pueden representar en una recta, pero cuya comprensión puede resultar un poco compleja. Veamos a continuación todo sobre los Números reales y topología de la recta real-Temario Secundaria.

Introducción a los números reales

Los números reales no son más que los números decimales que se pueden representar mediante una secuencia de dígitos (es decir, símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9), una coma y un signo (- o +, y este último generalmente no se escribe explícitamente).

Ejemplos de números reales son -5 (» menos cinco »), 54,321 (» cincuenta y cuatro punto tres dos uno ») y números cuya representación decimal no tiene término, porque:

  • los números se repiten periódicamente (como -0.33333333 … y 34.1212121212 …; en este caso se denominan publicaciones periódicas ), o
  • hay otro tipo de regularidad (como 0.101001000100001 …) o
  • no existe una regularidad obvia, como en el caso del famoso Pi ($ p $ = 3.14159265 …) que indica la relación entre la circunferencia y el diámetro en cualquier círculo.π = 3.14159265 …) que indica la relación entre circunferencia y diámetro en cualquier círculo.

En cierto sentido, podemos imaginar los números reales también como objetos geométricos, es decir, como puntos en una línea. Llamamos a dos puntos de esta línea real 0 y 1 y representamos el conjunto de los números reales como en el siguiente diagrama, donde hemos reportado algunos números reales con una marca:

El origen histórico de los números reales está estrechamente relacionado con hechos de naturaleza geométrica. Estos números se construyen a partir de la necesidad de medir y relacionar mediciones.

El conjunto de números reales es un sistema de numeración en el que las operaciones de suma y multiplicación, así como sus inversas, resta y división, están bien definidas y tienen las propiedades más importantes.

Sin embargo, la extensión de este sistema es necesaria para obtener una imagen clara de la relación entre números y puntos de una línea, desarrollando la noción de «integridad», una propiedad que el sistema racional no tiene. Construir la recta numérica completa implica construir un nuevo sistema numérico que incluya racionales como subsistema. El sistema incluye todas las relaciones entre cantidades geométricas (todos los valores que resultan de las mediciones) y muchos de estos valores no son números racionales. La unión de números racionales e irracionales se llama Conjunto de Números Reales.

Sucesión de números racionales. Límite de una sucesión. Sucesiones de Cauchy

¿Crees que si determinamos un número racional es posible encontrar su sucesor? Pensemos en un número racional como, por ejemplo. ¿Cuál es el siguiente número racional después de cero? Si estuviéramos restringidos a o , el  sucesor sería simplemente , sin embargo, el conjunto de números racionales puede representar fracciones de unidades. 

Esto significa que para encontrar el sucesor de cero debemos considerar la expresión del tipo que representa la parte unitaria más cercana a cero.

Representamos las unidades con círculos. Si dividimos una unidad en dos partes iguales, debemos representar cada una de ellas con la expresión , si dividimos en tres con la expresión , y así sucesivamente.

Límite de una sucesión

En la figura anterior podemos ver las partes de las unidades que representan las fracciones  y resaltadas con color. Como habrás notado, cuanto más se divide una unidad, más pequeña se vuelve cada parte.

Pero entonces … ¿quién es el sucesor de cero? ¡No existe! Los números fraccionarios no tienen sucesor, es decir, si tomamos un número racional, no hay nadie que esté en la siguiente posición y no tenga otros intermedios. Siempre que elijas dos números racionales, por muy cercanos que sean, encontrará que hay fracciones infinitas entre ellos .

Pero siempre podemos decir también que el límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

Sucesiones de Cauchy

Uno de los problemas para decidir si una secuencia es convergente es que necesita tener un límite antes de poder probar la definición.

Bernard Bolzano fue el primero en encontrar una solución a este problema utilizando una idea presentada por primera vez por el matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789 a 1857).

Definición

Una sucesión se llama sucesión de Cauchy si los términos de la secuencia eventualmente se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí.
Es decir, dado ε > 0 existe N tal que si m , n > N entonces | m – n | < ε .

Observaciones

    1. Ten en cuenta que esta definición no menciona un límite y, por lo tanto, puede verificarse a partir del conocimiento sobre la sucesión.
    2. No es suficiente tener cada término «cerca» del siguiente. (| m – m +1 | < ε . Por ejemplo, la sucesión divergente de sumas parciales de la serie armónica satisface esta propiedad, pero no la condición para una sucesión de Cauchy.
    3. Veremos (poco) que las sucesiones de Cauchy son las mismas que las secuencias convergentes para secuencias en R . Sin embargo cuando presentamos la idea de convergente en un contexto más general, las secuencias de Cauchy y las secuencias convergentes pueden ser diferentes.
    4. Cantor (1845 a 1918) utilizó la idea de una sucesión de racionales de Cauchy para dar una definición constructiva de los números reales independientemente del uso de las secciones de Dedekind .

Algunas propiedades de las sucesiones de Cauchy

Cualquier sucesiones de Cauchy está limitada.

Cualquier secuencia convergente es una secuencia de Cauchy.

Prueba

If ( a n ) → α luego dado ε > 0, elija N para que si n > N tengamos | n – α | < ε . Entonces si m , n > N tenemos | m – a n | = | ( a m – α ) – ( a m – α ) | ≤ | m – α | + | m – αEl | <2 ε .

Una secuencia Real Cauchy es convergente.

Prueba

Como la secuencia está limitada, tiene una subsecuencia convergente con límite α . Dado que ε > 0 desciende lo suficiente como para que un término a n de la subsecuencia esté dentro de ε de α . Siempre que estemos lo suficientemente abajo de la secuencia de Cauchy, cualquier a m estará dentro de ε de esta a n y, por lo tanto, dentro de 2 ε de α .

El conjunto de los números reales. Construcción. Propiedades

El conjunto de números reales está formado por la unión entre el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales. Existen varias propiedades sobre los números reales, que son extensiones de las propiedades de los números racionales. Estas propiedades están relacionadas con el orden de los números reales y el estudio de las operaciones matemáticas básicas aplicadas a los elementos de este conjunto.

La construcción y definición de números reales depende de las definiciones de conjuntos de números racionales e irracionales, que a su vez dependen de la definición de enteros. Por lo tanto, todos los números generalmente estudiados hasta el final de la escuela primaria y el comienzo de la escuela secundaria son los números reales.

Con la definición de números reales, veremos las propiedades más importantes relacionadas con este conjunto numérico.

Propiedades del conjunto de números reales

Las siguientes propiedades se derivan de la definición de los números reales y también de la suma de las operaciones de suma y multiplicación entre los elementos de este conjunto.

→ El conjunto de números reales es un conjunto completo

Existe una relación entre el conjunto de números reales y la línea numérica, que se construye de la siguiente manera: para cada número real, hay un único punto que lo representa en la línea numérica. Es posible mostrar que la línea no contiene ningún «agujero», es decir, un punto que no representa ningún número real. Por lo tanto, el conjunto de números reales está completo.

→ El conjunto de números reales es un conjunto ordenado

Aún evaluando la línea numérica comparando dos números reales , el de la izquierda es más pequeño que el de la derecha. Además, si están en el mismo punto, serán lo mismo. Este es el orden del conjunto de números reales representados en la línea numérica.

Propiedades operativas de números reales

Dados los números reales «a», «b» y «c», son válidas las siguientes propiedades operativas:

1 – Asociatividad:

a · (b · c) = (a · b) · c

a + (b + c) = (a + b) + c

2 – Cambio:

a · b = b · a

a + b = b + a

3 – Existencia de un solo elemento neutro para suma y multiplicación:

a + 0 = a

a · 1 = a

4 – Existencia de elemento inverso único para suma y multiplicación:

a + (- a) = 0

a · 1 = 1
a

5 – Distributividad:

a · (b + c) = a · b + a · c

 

Clasificación de números reales

El conjunto de números reales es un conjunto ordenado. Dados dos números reales arbitrarios a y b , se aplican las siguientes condiciones:

Topología de la recta real. Teoremas de Bolzano y Borel

El proceso de medir segmentos geométricos condujo a la noción de número real. Como resultado, la longitud de un segmento de línea puede considerarse como un prototipo del número real. Este proceso de medición es tan significativo que el conjunto de números reales también se conoce como la línea real o simplemente la línea recta.

El conjunto R, cuyos elementos son los números racionales junto con los números irracionales se llama el conjunto de números reales. Hay una correspondencia bidireccional entre la línea orientada, con el origen fijo en un cierto punto O y el conjunto R. Esta correspondencia asocia con cada punto X de esta línea su abscisa, es decir, la medida del segmento OX,

El conjunto R puede verse como el modelo aritmético de una línea, mientras que este, a su vez, es el modelo geométrico de R. Esta interrelación entre geometría y aritmética, entre puntos y números, es responsable de grandes progresos de las matemáticas actuales.

La topología de la línea real, es decir, estudiará cómo definir claramente varios subconjuntos, números reales útiles, y explorar sus propiedades. Con tal conocimiento, es más fácil estudiar cualquier función continua y cómo, con ella, correlacionas los elementos del dominio con los elementos de la imagen.

Para estudiar esta topología, se suele recurrir a los teoremas de Heine-Borel y la de Bolzano-Weierstrass que son dos teoremas fundamentales para el análisis de números reales. Son teoremas considerados equivalentes ya que tienen las mismas pruebas para entender las aplicaciones y la generalización de un marco más amplio de espacios topológicos.

El teorema Bolzano-Weierstrass , que recibe su nombre por Bernard Bolzano y Karl Weierstrass, es un resultado fundamental que tiene relación con la convergencia en un espacio euclidiano de dimensión finita R n . El teorema indica que cada secuencia limitada en R n tiene una subsecuencia convergente .

En cuanto al teorema de Heine-Borel establece condiciones para que un subconjunto y se enuncia de la siguiente manera: Si un conjunto  tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:

  1. es cerrado y acotado.

  2.  es compacto.

  3. Todo subconjunto infinito de  tiene un punto de acumulación en .
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