Vector unitario, qué es, cómo calcularlo, ejercicios, ejemplos

Vectores unitarios. Aunque producen un poco de miedo, los vectores son muy usados en la física y ciencias. Un vector se define porque tiene un punto de aplicación, una dirección, un sentido, una magnitud y otros rasgos que les dan sus peculiaridades. Os contamos cómo entender qué es un vector unitario, cómo calcularlo y ejercicios.

• Qué es un vector unitario
• Componentes de un vector y vectores unitarios
• Cómo calcular vector unitario
• Formula
• Ejercicios resueltos
• Otros tipos de vectores

Qué es un vector unitario

Se trata de un concepto bastante usado en álgebra lineal y en la física. ¿Cómo se define un vector unitario? Pues, se trata de un vector de módulo = 1. En ciertas ocasiones, a los vectores unitarios también se les da el nombre de vector normalizado.

En suma, podemos decir que un vector de tipo unitario es todo vector de módulo igual a uno (1). Por ende, coincide con la unidad de medida que se usa para entender la magnitud del vector.

Se trata de un tipo de vector que aparece en problemas diversos de la geometría lineal y la analítica. Igualmente, suele tener bastante aplicación en el campo de la informática. Además, es bastante sencillo encontrar el producto escalar de dos vectores unitarios, ya que basta con usar el coseno hay entre ellos.

Por otra parte, el producto de todo vector unitario es siempre otro vector normalizado. Además, cuando se tiene un vector cualquier y se desea normalizarlos, es necesario indagar el vector unitario que tenga mismo sentido y dirección que el vector que se desea trabajar.

Componentes de un vector y vectores unitarios

Las componentes de un vector son las coordenadas del vector en un espacio cartesiano. Si el espacio es cartesiano, entonces son dos componentes: (x, y). En cambio, si es tridimensional tenemos tres componentes: (x, y, z).

Es importante usar las coordenadas, ya que con ellas se conoce el módulo del vector con la fórmula adecuada para ello.

Cómo calcular vector unitario

Hay que tener siempre presente que un vector unitario es el que tiene módulo = 1. Por ello, el paso necesario para encontrar este tipo de vectores consiste en dividir un vector por su módulo.

Ahora surge la siguiente pregunta: ¿qué es un módulo? Pues, para hacer este procedimiento es menester recordar que una de las normas de la división es que todo número es divisible por sí mismo y por la unidad. Por lo tanto, si dividimos un vector por sí mismo, tendremos un vector unitario.

A lo anterior, se añade que buscamos un vector cuya dirección y sentido sean iguales a originales; pero con valor de módulo igual a uno (1).  Por lo tanto, es menester dividir el vector por su valor absoluto o escalar. Esto se expresa de la siguiente manera:

$u ⃗= \left(AB\right) ⃗/\left(\right|AB\left|\right)$

Hay que tener en cuenta que ya sabemos de antemano la siguiente igualdad:

$u ⃗= 1$

Sucede que para saber el valor del módulo de un vector, es menester usar el teorema de Pitágoras. Esto se debe a que se considera que la distancia escalar del vector equivale a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, siendo que este triángulo tiene a su vez como catetos los componentes del vector.

Vamos a ver el caso de un vector bidimensional, cuyas coordenadas en el plano cartesiano son (3,4). Se aplica entonces el teorema de Pitágoras:

$hipotenusa=\sqrt{(〖(cateto1){〗}^2+〖(cateto2\left){〗}^2\right)}$

Sucede que las coordenadas indican las distancias (3,9), quiere decir una unidad en vertical (eje x) y dos unidades en horizontal (eje y). Por tanto, asumimos lo siguiente:

$$\begin{gathered} Módulovector=\sqrt{\left(\right(3{)}^2+\left(4{)}^2\right)} \\ Módulo vector = \sqrt{(9+16)} \\ Módulo vector = \sqrt{25} \\ Módulo vector = 5 \end{gathered}$$

Ahora lo que es dividir el vector, entre el vector absoluto. Nos dará que del vector inicial salen cinco vectores unitarios. Basta con dividir las coordenadas (x,y) para tener las coordenadas de los cinco vectores unitarios en cuestión:

Coordenadas (x,y)= (3,4); al dividir tenemos los puntos:

• 1er vector unitario (3/5, 4/5)
• 2do vector unitario (6/5, 8/5)
• 3er vector unitario (9/5, 12/5)
• 4to vector unitario (12/5, 16/5)
• 5to vector unitario (15/5, 20/5) = (3,4)

Como se puede notar, el cálculo de un vector unitario es bastante fácil. Solo se necesita saber algo de cálculo con el teorema de Pitágoras y práctica constante. Empero, ocurre que los vectores unitarios se pueden complicar en un espacio tridimensional, donde los ejes son x, y, z.

Por ese motivo, se suele optar por una calculadora online de vectores unitarios. Hay varias en la web, así como diversas app que hacen esta labor. Vamos a tocar este asunto en los parágrafos que se muestran a continuación.

Para calcular el módulo de un vector tridimensional, la fórmula es similar, incluyendo la coordenada extra:

Coordenadas (x,y,z)

$Módulovector=\sqrt{\left(\right(x{)}^2+(y{)}^2+(z{)}^2)}$

Calculadora vectores unitarios

Como ya hemos dicho previamente, sucede que hay calculadoras para hacer este trabajo. Algunas páginas de Internet ofrecen esta labor

Igualmente, basta con buscar en Android y se consiguen muchas opciones al respecto. ¿Qué piden estas calculadoras? Pues, simplemente las coordenadas del vector. Entonces, rápidamente se obtiene no solo el módulo del vector, sino también las coordenadas de los vectores unitarios obtenidos.

Fórmula

¿Existe alguna fórmula para encontrar los vectores unitarios? Pues, se puede deducir dos pasos:

• Calcular el módulo del vector.
• Calcular las coordenadas de los vectores unitarios que pueden salir del vector.

Para calcular el módulo del vector, podemos usar la fórmula que se presenta a continuación:

$Módulodelvector=\sqrt{coordenada x^2+coordenada y^2}$

Luego, para hallar el primer vector unitario, tenemos la siguiente fórmula:

$$\begin{gathered} (coordenada x )/(módulo del vector) \\ (coordenada y )/(módulo del vector) \end{gathered}$$

Así de simple es el trabajo en estos casos.  No es complicado hallar vectores unitarios.

Ejercicios resueltos y ejemplos

Vamos a ver un ejemplo para dejar más en claro lo que acabamos de hablar, de esa manera se da una información más completa a los lectores:

• Hallar el vector unitario en el caso de (3,8)

Aplicamos la fórmula y tenemos lo siguiente:

$$\begin{gathered} Módulo del vector=\sqrt{(coordenada x^2+coordenada y^2)} \\ Módulo del vector= \sqrt{32+82} \\ Módulo del vector= \sqrt{9+64} \\ Módulo del vector= \sqrt{73} \end{gathered}$$

Como no es una raíz exacta, es mejor dejarla con el signo de radical. Luego, sucede que las coordenadas del primer vector unitario son las siguientes:

$u ⃗=(3/\sqrt{73} ; 8/(\sqrt{73} ) )$

¿Queremos comprobar que se trata de un vector unitario? Pues entonces vamos a calcular su módulo…

$$\begin{gathered} Módulo de lvector u⃗=\sqrt{(coordenada x^2+coordenada y^2)} \\ Módulo del vector u⃗=\sqrt{\left(\right(3/\sqrt{73}){〗}^2+(8/\sqrt{73}{)}^2)} \\ Módulo del vector u ⃗= \sqrt{( 9/73+ 64/73)} \\ Módulo del vector u ⃗= \sqrt{( 73/73)} \\ Módulo del vector u ⃗= \sqrt{( 1)} \\ Módulo del vector u ⃗= 1 \end{gathered}$$

Otros tipos de vectores

Al margen de lo señalado hay una enorme cantidad de vectores. Algunos que podemos mencionar son los siguientes:

• Vectores equipotenciales: con este apelativo se conoce a los vectores que tienen en común una dirección, el mismo módulo y además el mismo sentido.
• Vectores libres: este es el nombre que recibe un conjunto conformados por varios vectores de tipo equipotencial.
• Vectores fijos: en el caso de un conjunto de vectores libres, se llama vectores fijos a cada uno de aquellos vectores conforman dicho conjunto de vectores libres.
• Vectores opuestos: para que dos vectores sean considerados como opuestos, es menester que tengan el mismo módulo, pero sus direcciones sean contrarias.
• Vectores ligados: se conoce con el nombre de vectores ligares a aquellos que son equipotenciales, pero que además tienen mimos sentido, igual dirección y el módulo idéntico entre sí.
• Vectores concurrentes: se denomina de esta manera a todos aquellos vectores que tienen el mismo punto de origen.
• Vectores de posición: son los vectores cuyo origen coincide con el eje de coordenadas, bien sea de dos (x, y) o de tres ejes (x, y, z).
• Vectores ortogonales: se trata de vectores cuyas direcciones tienen entre sí un ángulo de 90 grados. Entre estos vectores, siempre sucede que su producto escalar = 0 (cero).
• Vectores ortonormales: con este nombre se denomina a los vectores que además de ser ortogonales, sucede que también pasa que su valor escalar es igual a uno (1).
• Vectores linealmente dependientes: son vectores libres, pero que pueden expresarse por medio de una combinación entre ellos.
• Vectores linealmente independientes: son vectores libres, pero en este caso no es posible expresarlo por medio de ninguna combinación entre ellos.