Cómo hacer integrales paso a paso y ejercicios resueltos

Tras haberos explicado cómo hacer derivadas paso a paso y haberos mostrado algunos ejercicios resueltos, queremos hacer lo mismo con el tema de las integrales que podemos distinguir entre aquellas que son definidas de las que son indefinidas. Os hablamos ahora de cómo hacer integrales paso a paso y ejercicios resueltos.

Young woman looking at math problem on blackboard

El cálculo es una rama importante de las matemáticas, y la diferenciación juega un papel crítico en el cálculo. El proceso inverso de la diferenciación se conoce como integración, y el inverso se conoce como integral, o simplemente, el inverso de la diferenciación da una integral. En función de los resultados que producen, las integrales se dividen en dos clases, a saber, integrales definidas e indefinidas.

Cómo hacer integrales definidas

Una función f (x) es definida y continua durante un intervalo real [a, b]. La integral definida de f (x), de a a b , es un NÚMERO real y se indica con el símbolo:

Donde:

  • a es el límite inferior de integración;
  • b es el límite superior de integración;
  • f (x) es el integrando.

Para entenderlo mejor, podemos decir que una integral definida tiene valores iniciales y finales: en otras palabras, hay un intervalo [a, b].

ayb (llamados límites, límites o fronteras) se colocan en la parte inferior y superior de la «S», de esta manera:

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Encontramos la integral definida calculando la integral indefinida en a , y en b , luego restando.

Regla de Barrow

Para el cálculo correcto de las integrales definidas tenemos que recurrir a la regla de Barrow que establece que al tener una función continua en un intervalo [a,b], podemos calcular ∫baf(x)dx de forma más rápida.

En la regla de Barrow: 

Sea f una función continua en [a,b] y F una primitiva de f. Esto se representa así:

∫baf=F(b)−F(a)

Para aplicar este teorema podéis ver este ejercicio resuelto que os dejamos en la imagen a continuación:

Cómo hacer integrales indefinidas

En cuanto a la integral indefinida de f (x) podemos decir que es una FUNCIÓN y responde a la pregunta, «¿Qué función cuando la diferenciación da f (x) ?»

Con una integral indefinida no hay límites superiores e inferiores para la integral, de modo que esta es una de las principales diferencias con las integrales definidas. Además en las integrales indefinidas lo que obtenemos es una respuesta que todavía tiene x ‘s en ella y también tendrá una constante (generalmente denotada por C ).

La integral indefinida generalmente da una solución general a la ecuación diferencial.

La integral indefinida es más una forma general de integración, y puede interpretarse como la anti-derivada de la función considerada.

Supongamos que la diferenciación de la función F conduce a otra función f , y la integración de f da la integral. Simbólicamente, esto se escribe como

F (x) = ∫ƒ (x) dx

o

F = ∫ƒ dx

donde ambos F y ƒ son funciones de x , y F es diferenciable. En la forma anterior, se llama integral de Reimann y la función resultante acompaña a una constante arbitraria.

Una integral indefinida a menudo produce una familia de funciones; por lo tanto, la integral es indefinida.

Las integrales y el proceso de integración son fundamentales para resolver ecuaciones diferenciales. Sin embargo, a diferencia de los pasos en la diferenciación, los pasos en la integración no siempre siguen una rutina clara y estándar. Ocasionalmente, vemos que la solución no puede expresarse explícitamente en términos de función elemental. En ese caso, la solución analítica a menudo se da en forma de una integral indefinida.

Teorema fundamental del cálculo

La integral definida y la indefinida están unidas por el Teorema fundamental del cálculo de la siguiente manera: Para calcular una integral definida , encuentra la integral indefinida (también conocida como la antideductiva) de la función y evalúa en los puntos finales x = a y x = b .

La diferencia entre integrales definidas e indefinidas será evidente una vez que evaluamos las integrales para la misma función.

Considera la siguiente integral:

Para la integración, necesitamos agregar uno al índice que nos lleva a la siguiente expresión:

En este momento, C es simplemente una constante para nosotros. Se necesita información adicional en el problema para determinar el valor exacto de C .

Vamos a evaluar la misma integral en su forma definida, es decir, con los límites superior e inferior incluidos.

Hablando gráficamente, ahora estamos calculando el área bajo la curva f (x) = y 3 entre y = 2 e y = 3 .

El primer paso en esta evaluación es el mismo que la evaluación integral indefinida. La única diferencia es que en esta ocasión no añadimos la constante C .

La expresión en este caso es la siguiente:

Esto nos lleva a:

Esencialmente, sustituimos 3 y luego 2 en la expresión y obtendremos la diferencia entre ellos.

Este es el valor definido en oposición al uso de la constante C anterior.

Exploremos el factor constante (con respecto a la integral indefinida) con más detalle.

Si el diferencial de y 3 es 3y 2 , entonces

∫ 3y 2 dy = y 3

Sin embargo, 3y 2 podría ser el diferencial de muchas expresiones, algunas de las cuales incluyen y 3 -5 , y 3 +7 , etc. Esto implica que la inversión no es única ya que la constante no se tiene en cuenta durante la operación.

Entonces, en general, 3 y 2 es el diferencial de y 3 + C donde C es cualquier constante. Por cierto, C se conoce como la ‘constante de integración’ .

Escribimos esto como:

∫ 3y 2 .dx = y 3 + C

Las técnicas de integración para una integral indefinida, como la búsqueda de tablas o la integración de Risch, pueden agregar nuevas discontinuidades durante el proceso de integración. Estas nuevas discontinuidades aparecen porque los anti-derivados pueden requerir la introducción de logaritmos complejos.

Los logaritmos complejos tienen una discontinuidad de salto cuando el argumento cruza el eje real negativo, y los algoritmos de integración a veces no pueden encontrar una representación donde estos saltos se cancelen.

Si la integral definida se evalúa calculando primero una integral indefinida y luego sustituyendo los límites de integración en el resultado, debemos ser conscientes de que la integración indefinida puede producir discontinuidades. Si lo hace, además, debemos investigar las discontinuidades en el intervalo de integración.

Ejercicios resueltos de integrales

Una vez hemos visto qué son y cómo se hacen paso a paso las integrales definidas así como indefinidas, quizás la mejor manera de entender mejor cómo se calculan es viendo ejemplos con su solución. Os los dejamos en el PDF a continuación, que os podéis descargar para consultarlo cuanto queráis.

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