Todos los objetos que nos rodean son, en sí mismos, cuerpos sólidos que están constituidos por una estructura con características particulares. Por ello, el estudio en matemáticas de los cuerpos geométricos es muy importante; porque constituye las bases para poder entender la geometría en tres dimensiones.
Qué es un cuerpo geométrico
En latín el término “corpus” significa tronco. Por otra parte, el término “geo” significa tierra, el sustantivo “metron”; se refiere a la medida. Finalmente, el sufijo “ico” se utiliza para indicar aquello que es relativo a algo en particular.
Los cuerpos geométricos son aquellos que poseen tres dimensiones, esto quiere decir que tienen una profundidad, longitud y altura. Se caracterizan por ocupar un lugar en un espacio, quiere decir que tienen volumen. Por ello se diferencian de las figuras geométricas de una dimensión, también llamadas planas
Los principales cuerpos geométricos son aquellos que parten de las figuras geométricas con mayor referencia de uso; como el círculo, el cuadrado y el triángulo. Estos pasarían a ser la esfera, el cubo y el triángulo, ello se debe a que cada uno de sus lados mantiene esta forma. Sin embargo, hay muchos otros más que poseen características únicas
Los poliedros son aquellos cuerpos geométricos que poseen una gran cantidad de caras o de lados. Su mismo nombre lo indica: la raíz de la palabra proviene del termino griego “polys” que se traduce como “muchos”, se combina con “edra” que quiere decir caras o base. Entonces, es un mismo cuerpo con muchos lados planos.
Hay diferentes tipos de poliedros, los llamados regulares también son conocidos como solidos platónicos. En particular, poseen la característica de que todas sus caras son iguales. Se les nombra de acuerdo a la cantidad de lados que poseen, se incluyen en este grupo al cubo también llamado hexaedro, tetraedro, octaedro, dodecaedro y al icosaedro
Las caras tienen superficies planas y los lados que conforman cada una se llaman aristas. Los vértices son aquellos puntos donde se encuentran las aristas, donde se unen tres caras se unen en uno.
También están los cuerpos geométricos que poseen un contorno continuo y que no poseen varias caras, son cuerpos redondos. Gran parte de la superficie es curva. Se puede tomar de ejemplo las esferas pero también se suman los conos y los cilindros
Las esferas poseen un contorno más uniforme en curva. Los conos tienen una base circular de la cual se apoya una superficie curva. Un cilindro en cambio posee dos bases circulares planas que están dispuestas en extremos opuestos y unidos por una superficie curva. La superficie curva del cono se une en un vértice, este cuerpo geométrico puede ser recto u oblicuo.
Los cuerpos geométricos llamados irregulares son aquellos que en una de sus caras no posee las mismas características de las otras. Por ello, a esta categoría pertenecen los que tienen una base como las pirámides y los prismas. Los cuerpos geométricos que poseen superficies curvas, simplemente se les llama redondos; como los conos, esferas y cilindros. A esos se añaden la semiesfera y el tronco de cono.
Los poliedros irregulares poseen más de una cara con un tipo de figura plana. Ejemplos de este tipo se pueden encontrar en piedras preciosas que son talladas de diversas formas.
Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos
Para medir el volumen de los cuerpos geométricos primero se debe entender cómo se mide la superficie de las figuras planas. El área es en total toda la superficie, la determinación del método aritmético se basa en el cuadrado en el caso de las figuras planas. Las unidades de medida son el metro, centímetro y los decímetros cuadrados.
Una unidad de medida es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 4 x 4 = 16. Entonces, la superficie del cuadrado es la multiplicación de la base por la altura
En el caso del triángulo se entiende que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos. La superficie es la mitad del polígono que resulta al duplicarlo a dos. Se toma uno de los lados como eje de simetría, por ejemplo un trapecio es resultado de la suma de dos pares de triángulos si se traza una diagonal.
Se entiende por volumen al espacio que ocupa un cuerpo y a la capacidad a la medida de ese volumen el cual puede ser contenido dentro de un cuerpo. Usualmente calcular la capacidad se hace mediante la aplicación de la fórmula del volumen. Universalmente a esta medida se le llama metro cubico representado como m3.
Para poder aplicar las formulas asignadas a cada caso es necesario entender cuál es la generatriz de cada cuerpo geométrico. Por ejemplo, un cilindro se forma por revolución lo cual quiere decir que un rectángulo gira en torno a uno de sus lados. Al medir la altura y el ancho será posible saber cuál es la generatriz del cilindro.
- h = g
- h= altura
- g= generatriz
En el caso del cono, nace de la revolución de un triángulo rectángulo que gira por sobre uno de sus catetos, la hipotenusa es la generatriz. Siguiendo el teorema de Pitágoras:
- g2 = h2 + r2
- g = generatriz
- h = altura
- r = radio
En algunos cuerpos, como el cubo, se diferencia entre área total y el área lateral. En esto que son regulares, el cálculo de sus áreas es sencillo. Un cubo posee seis caras iguales, para calcular el área, sumamos el área de todas sus caras
Área lateral del cubo = suma de las áreas de las caras laterales
- AL = 4 – a²
Área total del cubo = suma de las áreas de las seis caras
- AT= 6 x a 2
Volumen del cubo = arista al cubo
- V = a ³
El área de un octaedro, todos sus lados son rectángulos
- A = 2 (a x b + a x c + b · c)
- A = base
- B = ancho
- C = altura
- V = a x b x c
Volumen es igual a base por ancho por altura
El área de un prisma, dos caras son iguales y paralelas llamadas paralelogramos. El más común se llama prisma rectangular
Área = (perímetro base x altura) + 2 x área base
Volumen = área base x altura
El área de una pirámide, cada una de sus caras son triángulos iguales, la apotema lateral es la altura de los triángulos. La altura es la distancia entre el vértice donde se encuentran todas las caras hasta la base que puede ser un polígono cualquiera.
área=perímetro base·apotema lateral2+área base
volumen=área base x altura3
Área de una esfera, la distancia desde el centro a cualquier punto de la superficie se llama radio y se representa con la letra r:
Área total=4πr2
Volumen=43 πr2
El área del cilindro, se forma a partir de círculos ubicados paralelamente llamados bases.
Área total=2 π r(h+r)
Volumen=πr2 x h
H = altura
R = radio
El área de un cono, es análogo a la pirámide. El punto a es la base y g es la generatriz
Área total=πr2 + π r g
Volumen=r2h3
A = base
G = generatriz
H = altura
R = radio
Cuerpos geométricos primaria
En primaria se comienza a impartir nociones de geometría a los niños; con la finalidad de que puedan entender a futuro temas más complejos, siempre relacionados con la geometría y las matemáticas. Para empezar a ensenar a un niño, se puede tomar de ejemplo una de las figuras geométricas básicas: el cuadrado
Un niño puede dibujar sobre una hoja de papel unos sencillos trazos, cuatro líneas de mismo largo unidas por sus extremos; cada una a otra. Un cuadrilátero es una figura de cuatro lados, pero si bien un cubo visto de frente puede verse igual es más que eso. Este poliedro tiene seis caras y por lo tanto altura, ancho y profundidad.
En primaria, se recomienda realizar ejercicios prácticos que impliquen el despliegue y la construcción de cuerpos geométricos. La idea es utilizar cualquier material como cartulina, se procede al despliegue de cada uno de los planos del poliedro elegido que estarán unidos por un lado. Se realiza primero un diagrama con las dimensiones ya calculadas, los pliegues se realizan en las aristas. Los bordes deben coincidir y unirlos.
Ejercicios resueltos
Un octaedro mide 6 de altura, 4 profundidad y 3 de ancho. ¿Cuál es su área lateral y su área total? ¿Cuál es su volumen?
El área de un octaedro, todos sus lados son rectángulos
A = 2 (a x b + a x c + b · c)
A = base
B = ancho
C = altura
A = 2 (4 x 3 + 4 x 6 + 3 · 6)
A = 2 (12+24+18)
A = 2 (54)
A = 108
V = a x b x c
V = 4 x 3 x 6
V = 72
Volumen es igual a base por ancho por altura
Una esfera tiene un diámetro de 8, encontrar su área total
Si el diámetro es de 8, el radio es de 4 por que parte desde el centro hasta un punto cualquiera en la superficie. El π (llamado pi) equivale a 3,1416
Área total=4πr2
Área total=4·3,1416· 42
Área total=12,5664· 16
Área total=201,0624
Volumen=43 πr2