Todo sobre los números racionales – Temario secundaria

Cuándo hablamos de números racionales, queremos referirnos a aquellos que pueden ser fracciones, pero este es un tema mucho más extenso, que además es necesario saberse bien dentro de las Oposiciones a Enseñanza Secundaria, como lo es también el tema de Fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos. Veamos ahora Todo sobre los números racionales – Temario secundaria.

Qué son los números racionales

El conjunto de números racionales está formado por todos los elementos que se pueden escribir en forma de fracción . Por lo tanto, si el número puede ser representado por una fracción, entonces es un número racional.

Para comprender bien la definición de números racionales y todas las posibilidades que implican esta definición y conjunto numérico , debemos recordar la definición de fracción , que te ofrecemos a continuación.

¿Qué es la fracción?

Una fracción es una división entre enteros , representada de la siguiente manera:

a
b

Por lo tanto, para ser una fracción , los números «a» y «b» deben ser enteros y el número «b» siempre será distinto de cero.

Definición formal de número racional

A partir de la definición de fracciones , el conjunto de números racionales se puede representar de la siguiente manera:

En esta definición, se dice que el conjunto de los números racionales consiste de todas las fracciones «a» por «b», en donde «a» es un número entero y «b» es un diferente número entero de cero.

Números que se pueden escribir en forma de fracción

Sabiendo que el conjunto de racionales está compuesto por todos los números que se pueden escribir en forma de fracción, para mostrar que un número es racional, solo demuestra que hay una manera de escribirlo en esa forma. Los siguientes números se pueden escribir como una fracción:

1 – Las propias fracciones

Cualquier fracción es un número racional , porque por supuesto ya está escrito en la forma necesaria para ello.

2 – Los números enteros

Cualquier número entero se puede escribir en forma de fracción . Para hacerlo, simplemente divídelo por 1, porque cada número dividido por 1 es igual a sí mismo.

El número – 7, por ejemplo, es entero. Para escribirlo en forma de fracción, solo haz:

– 7
1

3 – Decimales finitos

Cualquier decimal finito , que tiene un número limitado de decimales, se puede escribir como una fracción . Para hacer esto, solo recuerda que cada decimal finito es el resultado de la división por alguna potencia base 10. Esto significa que una de sus fracciones equivalentes tiene un denominador de 10 3 . Esta fracción es:

2.455 = 2455
             10 3

 

4 – Decimales periódicos

Un decimal periódico es un decimal infinito donde hay un punto, es decir, una repetición dentro de los decimales .

Ejemplos:

1.3333 …

es un decimal periódico del período 3.

1.454545 …

o el  decimal periódico del período 45.

0.4562626262…

o el decimal periódico del período 62 y del antiperíodo 45.

Un decimal periódico siempre se puede escribir en forma de fracción. Para esto, toma el ejemplo del decimal 2.565656 …

Ten en cuenta que el periódico de este decimal es 56, es decir, hay dos dígitos en su período. Igualar este diezmo hace multiplicar esta ecuación al cuadrado 10 . Ten en cuenta que el exponente de la potencia base 10 siempre será igual al número de dígitos en el período.

x = 2.565656 …

100x = 256.5656 …

Suma y resta de números racionales

Como ya sabemos, el conjunto de racionales abarca todos los números en forma fraccional, que consiste en el numerador y el denominador. Las operaciones de suma y resta que involucran este tipo de números requieren algunas propiedades como mcm (mínimo común múltiplo). Las condiciones son las siguientes:

Denominadores iguales

Si los denominadores de la fracción son iguales, sumamos o disminuimos los numeradores y mantenemos los denominadores.

Diferentes

Si los denominadores son diferentes, debemos tomar el mcm entre ellos y hacer la proporcionalidad entre las fracciones. Esta proporcionalidad se realiza de la siguiente manera:

Divide el nuevo denominador (surgido de mcm) por el antiguo denominador y multiplica el resultado por el numerador correspondiente.

Los números decimales representan fracciones y se pueden sumar o restar. Para los números decimales, la única regla a seguir es armar la operación colocando una coma debajo de una coma.

Ejemplo 1

12.25 + 1.49 = 13.74

Ejemplo 2

59.64 – 32.79 = 26.85

Ejemplo 3

123.06 – 21.3 = 101.76

Ejemplo 4

98.32 + 17.05 = 115 37

Multiplicación y división de números racionales

Para aprender la multiplicación de números racionales recordemos cómo multiplicar dos fracciones. El producto de dos fracciones dadas es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones dadas y cuyo denominador es el producto de los denominadores de las fracciones dadas.

En otras palabras, producto de dos fracciones dadas = producto de sus numeradores / producto de sus denominadores

Del mismo modo, seguiremos la misma regla para el producto de números racionales.

Por lo tanto, producto de dos números racionales = producto de sus numeradores / producto de sus denominadores.

Por lo tanto, si a / byc / d son dos números racionales, entonces

a / b × c / d = a × c / b × d

Podemos decir entonces que al multiplicar números racionales, debemos multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador, como se muestra en los ejemplos a continuación:

Al dividir números racionales, debemos multiplicar la primera fracción por el inverso de la segunda, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Potencias de números racionales

Las potencias de números racionales surge como una herramienta muy útil para representar una multiplicación de factores iguales. El conocimiento de estas técnicas es indispensable en el estudio de las matemáticas básicas y sus aplicaciones están presentes en diversas situaciones relacionadas con otras ciencias como la química, la física, la ingeniería, la biología, la economía, las matemáticas financieras y otras.

Las reglas de potenciación se pueden aplicar a los números reales en general, pero el conjunto numérico en el que nos centramos es el de los números racionales, aquellos escritos en la forma a / b , con b ≠ 0.

En la potenciación de los números racionales debemos aplicar el exponente a los dos elementos de la fracción, el numerador y el denominador.

Ejemplo:

Números racionales y exponente negativo

En los casos en los que el exponente de la potencia a operar es negativo, debemos cambiar el signo del exponente e invertir la razón, es decir, el numerador se convierte en denominador y el denominador se convierte en numerador.

Ejemplo:

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