Qué es un producto vectorial y cómo calcularlo

El producto vectorial es una operación usual en el mundo de la geometría analítica, sobre todo en lo referente a los movimientos que se expresan con vectores. Hay que agregar que es de gran utilidad cuando se hacen trabajos donde se calculan magnitudes que se desplazan en un espacio tridimensional. Igualmente, ocurre que este producto se lleva a cabo entre dos vectores existentes.

En el presente texto nos vamos a entrar en esta temática. En primera instancia, vamos a dar una correcta definición de lo que es el producto vectorial. Vamos a expresar y detallar brevemente su fórmula. Asimismo, daremos algunos ejemplos. La intención es que los lectores tengan conocimientos este tema y logren adentrarse en el cálculo vectorial.

Definición

¿Qué es el producto vectorial? También recibe el nombre de “Producto vectorial Gibbs” o “Producto Cruz”. Se puede decir que se trata de una operación en la cual se multiplican dos vectores, obteniendo como resultado un tercer vector que es perpendicular a los vectores originales.

Algunas características de este producto son las que vamos indicar en la lista que damos a continuación:

  • El módulo resultante al obtener el producto vectorial de a x  b (“vector a” x “vector b”) es igual a la multiplicación del módulo de a por el módulo de b.
  • El ángulo del vector resultante está orientado por los vectores a y  b.
  • El vector resultante siempre es perpendicular a tanto al “vector a” x “vector b”.
  • La dirección del vector resultante es igual a la del eje coordenado Z respecto a los ejes coordenados X y Y; como si efectuase un giro de X hacia Y, siempre en dirección positiva de Z.

El producto vectorial tiene diversas utilidades. Por ejemplo, permite saber la magnitud resultante al aplicar dos fuerzas en un espacio tridimensional en un mismo objeto. Pero no solo permite saber la magnitud de dicha fuerza, sino la dirección de la misma. Igualmente, es bastante usado en la electrónica, ya que ayuda a estimar el movimiento de los electrones y corrientes en sentidos opuestos.

Lo cierto es que se trata de una herramienta de enorme utilidad en el campo de la física. Igualmente, se suele usar de manera recurrente en la hidráulica, cuando chocan diversas corrientes de agua. Todo esto hace que sea motivo de estudio de manera frecuente. Esa es la razón por la cual los estudiantes universitarios suelen preguntar cómo se hace el cálculo de este producto vectorial.

En las siguientes secciones de este texto, vamos a explicar cómo se realiza este cálculo. Además, aspiramos mostrar a nuestros lectores una fórmula sencilla para el producto vectorial. No obstante, también esperamos dar una correcta explicación de esta fórmula. No solo en la manera en que se utiliza, si no como se deduce la misma.

Es importante indicar que el producto vectorial, para ser calculado de manera precisa y sencilla, amerita ciertos conocimientos de trigonometría. Sin más que agregar, invitamos a repasar los datos que damos en los párrafos subsiguientes.

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formula del producto vectorial

Fórmula del producto vectorial

Estas fórmulas deben tener en cuenta un par de aspectos. El primero es que el producto vectorial tiene una magnitud. La otra faceta, es que dicho producto también tiene una dirección. Por ende, se necesita de una fórmula para inferir la magnitud mencionada. No obstante, la dirección del producto se consigue con la llamada “Regla de la mano derecha”.

Vamos a empezar con la fórmula. Hay que tener en cuenta que los vectores se expresan en el espacio tridimensional, lo cual quiere decir que cada vector tiene tres puntos de coordenadas: (X, Y y Z). Por ende, el cálculo del producto se hace teniendo en cuenta las tres coordenadas de cada vector que participa.

Por ejemplo, si tenemos un vector a y un vector b, entonces cada uno de ellos tendrá las siguientes coordenadas:

  • Vector   a: XA, YA y la coordenada ZA. Por ende, vector   a (XA, YA , ZA)
  • Vector   b: XB, YB y la coordenada ZB. Por ende, vector   b (XB, YB , ZB)

Entonces, para calcular de producto escalar es necesario aplicar la fórmula que mostramos a continuación:

i = Producto escalar

a x b = (XA, YA , ZA) .  (XB, YB , ZB)=   i (Xi, Yi, Zi)

i = Xi (YA ZB – ZAYB) – Yi (XA ZB – ZA XB) + Zi (XAYB – YA XB)

Se puede decir que es una fórmula un tanto engorrosa, empero es fácil de deducir. Hay que cruzar los valores coordenados a la hora de hacer la multiplicación.

Calcular producto vectorial online

En vista que el producto vectorial puede ser un tanto complejo, hay varias páginas de internet donde este se puede calcular online. Solo basta colocar las coordenadas X, Y y Z de los dos vectores en los cuales se va aplicar este producto. Con este simple dato, se puede realizar el cálculo con ayuda de un computador y una conexión de Internet.

Igualmente, sucede que se puede descargar una app para hacer este cálculo en un Smartphone. Sin duda, son muchas las ventajas que nos ofrecen las tecnologías de información en pleno siglo XXI.

Ejercicios resueltos

Vamos ahora a dar algunos ejemplos de cálculo el producto vectorial. La idea es mostrar a nuestros lectores que se trata de un trabajo mucho más simple de lo que parece. Si bien la fórmula es un tanto engorrosa, lo cierto es que es bastante intuitiva y con la práctica se llega dominar con facilidad.

  • Calcular el producto y de los vectores c (2, 4, -5) y d (-3, -2, 1)

Aplicamos la respectiva fórmula y tenemos:

i =  [(4)(1) – (-5) (-2)][(2)(1) –(-5) (-3)] + [(2)(-2) – (-2) (4)]

i =  [4 -10] [2 –15] + [-4+8]

i =  –6, 13, 8

Es decir, que las coordenadas i =  –6, 13, 8  corresponden a un vector que es perpendicular a los vectores originales c (2, 4, -5) y d (-3, -2, 1).

Con la intención de que nuestros lectores dominan el tema de este producto, vamos a mostrar algunos ejercicios con sus resultados. No colocaremos el procedimiento paso a paso, solamente las respuestas. La idea es que las personas practiquen y logren los resultados adecuados en el cálculo de este producto.

  • Calcular el producto vectorial de: e (1, -3, -4) y f (-2, 1, 1). Respuesta: i =  –7, -9, -5
  • Calcular el producto vectorial de: g (2, -7 y h (-3, -4). Respuesta: i =  –28, 21, -8

Producto escalar y vectorial

Hay que tener en cuenta que el producto vectorial implica conocer aspectos de la trigonometría; tal y como lo señalamos antes. No obstante, también obliga a conocer ciertas consideraciones sobre el uso de los vectores. Una de estas consideraciones es el llamado “producto escalar”. Al respecto, es necesario dar algunas diferencias para que nuestros lectores estén más claras.

Hay dos maneras de multiplicar los vectores. Una de ellas es mediante el producto escalar, con la cual solamente se obtiene la magnitud del nuevo vector. En cambio, con la ayuda del producto vectorial, también se pueden inferir una dirección de dicha magnitud. Esto último, es por ejemplo muy importante en la aplicación de fuerzas.

  • El producto escalar es la operación donde al multiplicar dos vectores, únicamente se obtiene una magnitud, es decir un número escalas. Por ejemplo, se puede obtener la medida de una fuerza de 4 newton, pero no se sabe la dirección de dicha fuerza.
  • El producto vectorial es la operación donde al multiplicar dos vectores, se tiene como resultado otro vector. La característica de este vector resultante, es que es perpendicular a los vectores originales.

producto vectorial de dos vectores

Producto vectorial de dos vectores

Ya hemos indicado cómo se calcula este tipo de producto. Lo que queremos hacer en este apartado, es indicar una serie de propiedades que tiene esta operación con vectores. Las mismas son las que indicamos en la lista continuación:

  • El producto vectorial no es asociativo.
  • Hay añadir que este producto de tampoco es conmutativo, es decir, en esta multiplicación no se aplican los mismos criterios que con los números o escalares.
  • Tiene la propiedad de cancelación por ortogonalidad.
  • Cuando ocurre la cancelación del producto vectorial, implica que existe paralelismo entre los vectores sobre los cuales se quiere trabajar.
  • Esta operación es distributiva únicamente por la derecha.
  • Este producto o tiene la cualidad de ser nilpotente.
  • También tiene la capacidad de ser bihomogéneo.

Todas estas características de que tenerlo en cuenta. Se hace por dos motivos. El primero para evitar errores de cálculo, el segundo es para simplificar ciertas operaciones con estos actores.

Doble producto vectorial

Se dice que existe un doble productor vectorial cuando el producto obtenido por dos vectores, luego se multiplica vectorialmente por un tercer vector. Para llevar a cabo esta operación, se usa la siguiente fórmula:

a  x ( b  x c ) = b x ( a  x c) – c ( a  x b)

Es importante respetar la manera en que se ordenan los vectores para efectuar el doble producto vectorial. Si esto no se hace, se obtiene un resultado erróneo al hacer esta operación de multiplicación de vectores.

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