Números enteros, divisibilidad, números primos y congruencia – Temario secundaria. Veamos a continuación cómo se comportan los números enteros y de qué manera se establecen algunas de sus operaciones, qué son los números primos y qué es el concepto matemático de congruencia. Todo ello para que podáis entender este tema que se tiene que aprender en el caso de que estés preparando las oposiciones a enseñanza secundaria.
Qué son los números enteros y sus características
Los números enteros son números positivos y negativos. Estos números forman el conjunto de enteros, indicado por ℤ que representa la totalidad de su conjunto.
El conjunto de enteros es infinito y se puede representar de la siguiente manera:
ℤ = {…, -5,-4- 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,4,5 …}
Como podemos ver en el conjunto anterior, los números negativos siempre se representan con el signo menos (-) en su lado izquierdo. Los positivos también pueden contener el signo más (+), pero se omiten sin afectar la comprensión.
Los enteros siempre tienen un predecesor y sucesor. El sucesor es siempre ese número que viene después de él.
El sucesor de 2, por ejemplo, es 3. Ahora ten cuidado, porque el sucesor de -2 es -3, porque -3 es menor que -2.
Dentro del conjunto de Z está el conjunto de números naturales (N) que son números positivos, incluido el cero que es un número neutral, es decir, no es un número positivo ni negativo.
Representación recta numérica
Los enteros se pueden representar mediante puntos en la línea numérica. En esta representación, la distancia entre dos números consecutivos es siempre la misma.
Los números que están a la misma distancia de cero se denominan opuestos o simétricos.
Por ejemplo, el -4 es simétrico de 4 porque están a la misma distancia de cero como se muestra en la siguiente figura:
Subconjuntos de Z
El conjunto de números naturales (ℕ) es un subconjunto de ℤ, ya que está contenido en el conjunto de enteros. Así:
Además del conjunto de números naturales, destacamos los siguientes subconjuntos de ℤ:
- ℤ *: es el subconjunto de enteros, excepto cero. ℤ * = {…, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …}
- ℤ + : son los enteros no negativos, es decir, ℤ + = {0, 1, 2, 3, 4, …}
- ℤ _: es el subconjunto de enteros no positivos, es decir, ℤ_ = {…, -4, -3, -2, -1, 0}
- ℤ * + : es el subconjunto de enteros excepto negativos y cero. ℤ * + = {1,2,3,4,5 …}
- ℤ * _ : son enteros excepto positivo y cero, es decir, ℤ * _ = {…, -4, -3, -2, -1}
La divisibilidad de los números enteros
La divisibilidad es uno de los conceptos fundamentales de la teoría de números enteros.
Dados dos enteros a y b, decimos que a divide b, o que a es un divisor de b, si b = ac, donde c es un entero (esto se escribe a / b).
Definición : la divisibilidad es entonces la propiedad de un número entero que es divisible por otro.
Los criterios de divisibilidad de los números enteros se utilizan para establecer si un número n es divisible por otro número m sin realizar la división.
Divisibilidad entre 1
- Cada número es divisible entre 1.
Divisibilidad entre 2
- Cada número par es divisible entre 2, por lo que es suficiente para terminar en 0, 2, 4, 6 u 8.
Ejemplo:
24: 2 = 12
132: 2 = 66
108: 2 = 54
1024: 2 = 512
Divisibilidad por 3
- Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.
Ejemplo:
33: 3 = 11, para 3 + 3 = 6
45: 3 = 15, para 4 + 5 = 9
156: 3 = 52 , ya que 1 + 5 + 6 = 12
558: 3 = 186, porque 5 + 5 + 8 = 18
Divisibilidad por 4
- Un número es divisible por 4 cuando es par y la mitad del último dígito agregado al penúltimo es un número par o termina con cero en las dos últimas casillas.
Ejemplo:
48: 4 = 12, porque 8/2 + 4 = 8
288: 4 = 72, porque 8/2 + 8 = 12
144: 4 = 36, porque 4/2 + 4 = 6
100: 4 = 25, porque tiene el último y el penúltimo recuadro el dígito 0.
Divisibilidad por 5
- Es cada número que termina en 0 o 5.
Ejemplo:
25: 5 = 5
100: 5 = 20
555: 5 = 111
75: 5 = 15
Divisibilidad por 6
- Todos los números son divisibles por 2 y 3 al mismo tiempo.
Ejemplo:
24: 6 = 4, porque 24: 2 = 12 y 24: 3 = 8
36: 6 = 6, porque 36: 2 = 18 y 36: 3 = 12
132: 6 = 22, porque 132: 2 = 66 y 132 : 3 = 44
564: 6 = 94, porque 564: 2 = 282 y 546: 3 = 182
Divisible por 7
- Un número es divisible por 7 cuando se establece la diferencia entre el doble del último y los otros dígitos, lo que constituye un número divisible por 7.
Ejemplo:
161: 7 = 23, porque 16 – 2 * 1 = 16 – 2 = 14
203: 7 = 29, porque 20 – 2 * 3 = 20 – 6 = 14
294: 7 = 42, porque 29 – 2 * 4 = 29 – 8 = 21
840: 7 = 120, para 84 – 2 * 0 = 84
Divisibilidad por 8
- Un número es divisible por 8 o 000, cuando los tres últimos números son divisibles por 8.
Ejemplo:
208: 8 = 26, de los últimos tres son divisibles por 8
Divisibilidad por 9
- Cualquier número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos constituye un múltiplo de 9.
Ejemplo:
81: 9 = 9, para 8 + 1 = 9
1107: 9 = 123, para 1 + 1 + 0 + 7 = 9
4788 : 9 = 532, porque 4 + 7 + 8 + 8 = 27
Divisibilidad por 10
- Cada número que termina en 0 es divisible por 10.
Ejemplo:
100: 10 = 10
500: 10 = 50
500 000: 10 = 50 000
2000: 10 = 200
Divisibilidad por 11
- Un número es divisible por 11 en situaciones donde la diferencia entre el último dígito y el número formado por los otros dígitos, sucesivamente hasta que quede un número de 2 dígitos, resulta en un múltiplo de 11. Como regla más inmediata, todos las decenas dobles (11, 22, 33, 5555, etc.) son múltiplos de 11.
Ejemplo:
1342: 11 = 122, ya que 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11
2783: 11 = 253, porque 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, porque 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66
Divisibilidad por 12
- Si un número es divisible por 3 y 4, también será divisible por 12.
Ejemplo:
192: 12 = 16, porque 192 : 3 = 64 y 192: 4 = 48
672: 12 = 56, porque 672: 3 = 224 y 672: 4 = 168
Divisible por 15
- Cada número divisible por 3 y 5 también es divisible por 15.
Ejemplo:
1470 es divisible por 15 porque 1470: 3 = 490 y 1470: 5 = 294.
1800 es divisible por 15 porque 1800: 3 = 600 y 1800: 5 = 360.
Qué son los números primos
Otro concepto, vinculado a la divisibilidad, es el de número primo, un número entero divisible solo por sí mismo y por unidad.
Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11. Euclides observó que si p / ab, entonces p / aop / b. A partir de este resultado, se puede deducir fácilmente el teorema fundamental de la aritmética, también llamado teorema de factorización único : cada número entero mayor que uno es producto de números primos de una forma y otra, aparte del orden.
Por ejemplo, 22.891.869 = 3 x 3 x 3 x 7 x 7 x 11 x 11 x 11 x 13.
Este hecho es muy útil para encontrar denominadores comunes y realizar otras operaciones aritméticas. Los números primos han encontrado uso en la codificación en tecnología informática; Como son difíciles de descubrir, los números primos constituyen una prueba de la correcta instalación de una computadora.
La distribución y determinación de los números primos ha sido un problema para los matemáticos desde la antigüedad. El método eficaz más antiguo para encontrar primos se debe a Eratóstenes (c. 240 aC) y se llama criba de Eratóstenes.
Para obtener una lista de números primos menores o iguales a N, se realiza la lista de todos los enteros menores o iguales a N y se eliminan los múltiplos de números primos que son menores o iguales a la raíz de N.
Por ejemplo, para encontrar todos los números primos menores o iguales que 100 simplemente elimine todos los múltiplos de 2, 3, 5, 7.
Existen numerosos problemas sin resolver relacionados con los números primos, que incluyen:
- Conjetura de Goldbach: ¿algún número par es la suma de dos números primos?.
- El problema de los primos gemelos: ¿hay un número infinito de números primos p para los cuales p + 2 también es primo?.
- ¿Hay un número infinito de enteros n para los cuales n2 + 1 es primo?.
Uno de los aspectos más llamativos en el estudio de los números primos es que para su estudio una herramienta muy importante es el cálculo infinitesimal, y particularmente el análisis complejo y el análisis de Fourier.
Distribución de números primos
Uno de los problemas más antiguos de la teoría de números es la cuestión de cómo se distribuyen los números primos entre los enteros .
Los griegos lograron demostrar que hay un número infinito de números primos, que están espaciados irregularmente y que puede haber una distancia arbitrariamente grande entre dos números primos sucesivos. Por otro lado, se cree, incluso si no se ha demostrado, que hay números primos gemelos infinitos, es decir, números primos que difieren en dos unidades , como los pares 5 y 7, o 11 y 13.
Suponemos que pi (x) es el número de números primos hasta el valor x (por ejemplo pi (25) = 9, los números primos son menores que 25 y los nueve números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23).
El teorema de los números primos establece que pi (x) tiende a x / log (x) cuando x se vuelve muy grande (es decir, x tiende a infinito). Este teorema se asumió como válido en el siglo XVIII, pero no fue completamente probado hasta 1896, por JS Hadamard y Charles de la Vallée Poussin, independientemente, mediante el uso de un método que depende del análisis complejo. El procedimiento demostrativo fue esbozado en 1851 por Bernhard Riemann, pero las herramientas analíticas necesarias aún no estaban disponibles en ese momento. Este teorema fue una de las razones más importantes para el análisis complejo de los números primos.
Qué es la congruencia
La era moderna de la teoría de números comenzó con la publicación del trabajo de Carl Frederick Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801). En este trabajo, Gauss introdujo la idea de una congruencia, que aún implica el concepto de divisibilidad. Dos enteros ayb se llaman módulo congruente n si la diferencia a – b es múltiplo de n. Esto se escribe como equivalente b (mod n), que se puede demostrar que es equivalente a la afirmación de que cuando a y b son divisibles por un cierto número n dan el mismo resto.
Por ejemplo, los números 7, 12, 17 y 22 son todos congruentes con el módulo 5.
En particular, 7 equivalente a 12 significa que la división de 7 por 5 y la división de 12 por 5 dan el mismo resto. Simbólicamente, esto se indica con 7 = (1 x 5) + 2 y 12 = (2 x 5) + 2.
Las congruencias son útiles porque se comportan como ecuaciones, de modo que la teoría de la divisibilidad puede tratarse en términos de ecuaciones. Muchos resultados sobre la divisibilidad de los números primos se pueden establecer en el lenguaje de las congruencias.
Gauss realizó un estudio sistemático para resolver las congruencias del tipo f (x) equivalente 0, donde f (x) es un polinomio. Si f (x) es lineal, es decir, si f (x) = ax + b, el problema puede reducirse fácilmente a lo siguiente: ax + b equivalente 0 es solucionable si y solo si el MCD (a, n) / b. Si f (x) = ax = + bx + c es cuadrático, el problema se vuelve más difícil.
Un resultado fundamental, llamado el teorema chino del resto , nos permite rastrear el problema hasta el caso en que n = p es un número primo. Además, mediante la disposición de “completar el cuadrado”, es suficiente resolver las congruencias de la forma x².
Gauss descubrió una relación sorprendente entre dos números primos (llamada la ley de la reciprocidad gaussiana cuadrática ), que dice:
- si p, q> 2 son números primos, x² equivalente p se puede resolver si y solo si se puede resolver x² equivalente q, a menos que p equivalente q sea equivalente 3, en cuyo caso a es solucionable si y solo si el otro no es solucionable.
Para polinomios de f (x) de mayor grado, todavía hay muchos problemas sin resolver.