¿Cuáles son los números irracionales? Ejemplos y características

Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como si fuesen una relación de números consecutivos. Además, tampoco se pueden organizar como fracciones simples. Esto se debe a que no hay un número finito de números cuando se escriben como decimales.

En general la dificultad para diferenciar un número irracional de uno racional, u entero, es principalmente porque éste no puede reducirse a ninguna proporción entre un número entero o un número natural. La unión del conjunto de números irracionales y el conjunto de números racionales  forma el conjunto de números reales.

Estos son importantes para los teóricos de las matemáticas principalmente, así como también tienen aplicaciones importantes en las matemáticas abstractas y en la informática, sobre todo en el cifrado de datos y en el desarrollo de métodos de seguridad.

La extensión decimal de un número irracional nunca tiene una terminación. Por otra parte, no presenta dígitos en un patrón repetitivo. El ejemplo más común de número irracional es el Pi y otro menos manejado es la base logarítmica natural (e).

Técnicamente, en matemáticas los números irracionales que son desconocidos o no especificados generalmente se representan de U a Z. Si bien, matemáticamente un conjunto de números racionales y otro conjunto de números irracionales son igualmente infinitos, la diferencia entre ambos radica en que es mucho más grande y comprobable por medio de fórmulas.

Números racionales e irracionales

La diferencia entre estos dos se puede apreciar en el segundo caso que éstos no se pueden escribir como la proporción de dos enteros; ya que éstos pueden continuar sin un finito y además nunca se repiten consecutivamente ni cíclicamente.

Un número irracional no posee un patrón único ni rastreable de sus dígitos después de un decimal. En un ejercicio matemático estos números dan como resultado o valores que no son determinantes.  Por ello, el tema de su  notación puede llegar a ser bastante complejo.

En el caso de las raíces queda muy claro, la raíz de 4 es 2 mientras que la raíz de 3 es 1.732050807. En general, se puede afirmar que la raíz cuadrada de un número que no represente a un cuadrado perfecto dará como resultado un número irracional.

Muchos de estos números se usan como constantes que permiten resolver cómputos complejos y difíciles de solucionar.

Ejemplos de números racionales y irracionales

El número irracional más conocido y, sin embargo, más importante para diversos campos de las matemáticas es el Pi o también conocido como π, aunque también se conocen otros como los que se mencionan a continuación:

  • π  = 3.1415926535897932384626433832795
  • e (Euler) = 2.7182818284590452353602874713527
  • φ = 1.61803398874989484820

El número Pi es para muchos estudiantes de secundaria aquel número que se utiliza para determinar la circunferencia de un círculo así como el diámetro de ese mismo círculo. Pero como se mencionó antes este número ha encontrado usos mucho mayores y más complejos en el mundo de las matemáticas aplicadas.

Éste número no surge de forma fortuita y mucho menos por azar. Se trata de un dígito que se determina al realizar un cálculo entre el tamaño de la circunferencia de un círculo con la medida del diámetro de ese mismo círculo. Por lo tanto; el número pi es el valor resultante entre el valor de la distancia alrededor y la distancia a través de un mimo círculo. La proporción de oro, escrita como un símbolo, es un número irracional expresado como 1.61803398874989484820…

El número de Euler es otro ejemplo importante, se introdujo al mundo de las matemáticas por medio de las cartas escritas por el matemático Leonard Euler en el año de 1731. Es el resultado de 1 + 1 / n cuando se acerca al infinito. También es importante mencionar que los números irracionales son resultados de muchas raíces cuadradas así como de raíces en cubos pero no en todos los casos.

Características de los números racionales e irracionales

Los números irracionales poseen diversas características y propiedades que cualquier alumno puede identificar o utilizar según sea el caso. A continuación; se hace mención de algunos de estos factores que son los más resaltantes:

1) En la suma y resta de estos se puede afirmar que en el resultado de suma no necesariamente el resultado será otro número irracional. Igualmente sucede en una operación de resta.

2) En la Multiplicación y división puede dar como resultado tanto un número irracional como también racional.

3) Convertir fracciones a decimales es lo mismo que dividir dos números enteros. Los decimales de terminación son aquellos que poseen un número finito de dígitos y los decimales de no terminación son aquellos que poseen un número infinito de dígitos. Por ello es una fracción si se procede a realizar una división que no tiene una resolución inmediata o rápida quiere decir que el resultado no será igual a cero sino que será un decimal sin una terminación.

Las anteriores son las características medulares de los números racionales. Los matemáticos las han estudiado logrando así calcular y usar estos números de manera positiva.

Cuáles son los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales

Vamos ahora a describir los diversos tipos de números antes mencionados, de manera de poder diferenciarlos y entender mejor sus propiedades.

Los números enteros

Los números enteros son los que primero se les enseña a los niños durante sus primeros años de la etapa escolar. Los numero naturales son precisamente el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y el 0 principalmente, hay un número infinito de ellos con solo añadir un 1 u otro número consecutivo al anterior para seguir con la cuenta. Pero también se considera un conjunto de números enteros aquellos que son menos que uno, pero ¿Qué puede ser menos que eso? O ¿El cero es precisamente nada?

La respuesta es que cuando se realiza una operación matemática donde se resta un número mayor que el primero dará como resultado un número en negativo. Entonces, en conjunto tanto números positivos como los negativos forman en total números enteros.

Los números racionales

Los números racionales son aquellos que pueden ser sometidos a cualquier operación matemática como restar, sumar, multiplicar pero al dividirlos no siempre nos dará como resultado otro número racional sino que también puede que el resultado sea un número irracional. Los números racionales se representan con la letra Q.

Para entenderlo podemos tomar de ejemplo tratar de dividir el 8 en dos, el resultado es simplemente 4; pero en el caso del número 9 no es tan simple. Pero si dividimos 376 en dos el resultado es el numero racional 188. La expansión decimal de los números racionales es finita como por ejemplo 0.43), o eventualmente consiste en la repetición de bloques de dígitos como por ejemplo 0.1367676767.

Los números reales

Los números reales están formados tanto por los números racionales como por los irracionales y son representados matemáticamente en una operación con la letra R. Por igual comparten la característica de tener repeticiones decimales que son finitas pero solamente los números racionales tienen patrones de repetición.

El infinito se puede entender de dos formas. El infinito de los números naturales cuando se hacen más grandes y el infinito de los números enteros cuando se hacen grandes o pequeños de forma negativa. Hay infinitos entre cualquier intervalo de números, sea entre el 0 y el 1 o por ejemplo entre el 1 y el 2.

El matemático Jean-Robert Argand utilizó un plano o diagrama ahora conocido con su apellido. Por este medio se puede explicar mejor los números reales. Se representa un sistema de coordenadas donde el eje llamado X muestra números reales en positivo y por otra parte el eje Y muestra números reales en negativo. También se pueden representar los números por medio del valor de un ángulo además de la distancia desde el punto de origen.

La combinación de números reales e imaginarios representados con la letra i, dando como resultado números complejos. Estos valores tienen mucha importancia para el desarrollo de las matemáticas, sin ellos no es posible explicar diversos fenómenos físicos como las ondas o también el movimiento de fluidos. Tienen mucha relevancia en la mecánica cuántica.

Con el teorema de Pitágoras es posible darse cuenta de la importancia y necesidad de los números racionales e irracionales. Si los lados de un triángulo rectángulo isósceles se llaman 1, entonces tendremos como resultado que 1 2 + 1 2 = 2, de modo que la hipotenusa tiene como valor la √2.

En resumen podemos demostrar los siguientes aspectos sobre los tipos de números:

  • Los siguientes números de aritmética son números naturales:

1, 2, 3, 4, y así sucesivamente.

  • Si se incluye el 0 obtenemos los números enteros:

0, 1, 2, 3, y así sucesivamente.

  • Los números enteros son los múltiplos de 1, las fracciones son sus partes: sus mitades, tercios, cuartos, quintos y sucesivamente.
  • Si se incluyen los negativos algebraicos, obtenemos los enteros:

0, ± 1, ± 2, ± 3, y así sucesivamente (± llamado «más o menos» ó “doble signo”)

  • Los siguientes son los números cuadrados:

1 4 9 16 25 36 49 64, y así sucesivamente.

  • Un número racional es un entero, fracción, número mixto o decimal.

Como se puede apreciar, son varias las propiedades y las categorías de los números. Es necesario conocerlas para usarlas en provecho y cálculo adecuado.

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