Qué es la proporcionalidad directa

proporcionalidad directa

La proporcionalidad directa es una herramienta de gran utilidad.  Por ello, hemos elaborado el presente texto versando acerca de este tema.  Hay que tener en cuenta que el asunto de la proporcionalidad no es un asunto solamente de geometría, como muchos lo consideran. ¡No!  En realidad se trata de una relación entre cantidades diversas, lo cual permite estimar una en relación a la otra.  En tal sentido, es muy usada en fórmulas químicas, combinación de materiales, para calcular aleaciones y muchas otras funciones adicionales.

En el presente vamos a versar en lo tocante al tema de la proporcionalidad. No obstante, queremos destacar las diferencias entre la proporcionalidad directa e inversa. ¿La razón? Simple: ocurre que son conceptos que se usan de manera reiterada, a la vez que las personas los tienden a confundir.  Por otra parte, haremos mención de la función de proporcionalidad directa. Igualmente, mostraremos algunos rasgos de las gráficas de proporcionalidad. Igualmente, expondremos gráficas, problemas y ejercicios.

Proporcionalidad directa e inversa

Es lo primero que se debe discernir para dejar en claro los trabajos de cálculo con proporcionalidad. Al respecto, indicamos las desemejanzas y contrastes entre ambos conceptos:

  • Proporcionalidad directa: se asevera que dos magnitudes son proporcionales de manera directa si al multiplicar, o dividir, una de ellas por un número la otra queda multiplicada o tiene un cociente en relación a este mismo número. Hay que decir que al hacer una división entre ambas magnitudes se obtiene siempre un mismo valor, el cual es conocido como “constante de proporcionalidad directa”.
  • Proporcionalidad inversa: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando a medida que una de ambas aumenta, la otra decrece. ¿Ejemplos al respecto? Un caso paradigmático es el del cálculo del tiempo en función de la velocidad. ¿Por qué? Debido al hecho que al incrementarse la velocidad, acontece que se reduce el tiempo en que se efectúa el recorrido. En este caso, la constante de proporcionalidad no deviene por división, sino porque al multiplicar las dos variables se obtiene la constante.

Con las aclaratorias antes mencionadas, ya podemos entrar más de lleno en lo tocante a los temas de proporcionalidad. ¿De qué nos toca hablar ahora? En los siguientes párrafos, nos centramos en describir el cálculo y funciones de la proporcionalidad directa.

Función de proporcionalidad directa

Ya hemos descrito lo tocante al ámbito teórico. Vamos ahora al escenario práctico y matemático. ¿Cómo lo haremos? Pues, queremos indicar que para hacer cálculos referidos a la proporcionalidad de talante directo, entonces se usan las siguientes herramientas aritméticas y de álgebra: 1) encontrar la razón de proporcionalidad, 2) una regla de tres y 3) el método de reducción a la unidad.

En los párrafos subsiguientes, vamos a puntualizar cada uno de los métodos antes aludidos, destacando las ventajas de cada uno de ellos:

 

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  • Encontrar la razón de proporcionalidad directa: es algo bastante simple. Consiste en dividir la cantidad mayor entre la menor, dando como resultado un número. Este número es la llamada constante de proporcionalidad. Esto nos permite dilucidar la siguiente fórmula:

proporcionalidad directa ejemplos y fórmulas

  • Usar la regla de tres: es la manera más habitual de solucionar esta clase de problemas. Para ello, se necesita de tres datos. Dos de ellos han de ser magnitudes relacionadas entre sí. La otra, es una magnitud a la cual se desea estimar su par de proporcionalidad. Vamos a dar un ejemplo.

Tenemos que dos kilos de carne cuestan 5 euros. Entonces, surge la siguiente duda: ¿Cuánto cuestan cinco kilos de carne? Para ello, planteamos la respectiva regla de tres para solucionar esta incógnita:

proporcionalidad directa ejemplos y fórmulas

En este caso, se multiplica la cantidad conocida y de la cual se desea saber su par de proporcionalidad (5 kilos) por la cantidad contrario que se conoce (5 euros). El resultado se divide entre el tercer término de la regla de tres (2 kilos). El cálculo aritmético queda de la siguiente manera:

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La regla de tres es un cálculo muy sencillo de ejecutar. En dado caso, para hacerlo de manera correcta es menester tener muy en claro la relación entre las tres magnitudes que se usan para calcular. Con esto bien planteado, todo lo demás es sencillo. No se requieren matemáticas complicadas.

  • Método de reducción a la unidad: es bastante simple, quizás el más usado en la cultura popular. También, es bastante intuitivo. Para demostrarlo, vamos a usar el ejemplo antes mencionado. En este caso, diremos que sabemos que el coste de 2 kilos de carne es de 5 euros. ¿Cuánto cuestan 5 kilos de carne? Para responder esta duda, vamos a seguir con otro procedimiento.

Si 2 kilos de carne cuestan 5 euros, entonces 1 kilo costará 5 ÷ 2 = 2,5 euros. ¡Ya sabemos cuánto cuesta un solo kilo de carne! ¿Qué hacemos ahora? Pues, nos toca hacer una simple multiplicación para saber el precio de 5 kilos:

5 x 2,5=12,5 euros

En este caso, hemos llegado al mismo resultado que con la regla de tres. Lo cual demuestra que el método de reducción a la mitad también es efectivo.

Con estas tres estrategias, se resuelve lo tocante al cálculo de la proporcionalidad directa. Vale decirte que se crea una función matemática, ya que se crean pares de magnitudes relacionadas con la constante de proporcionalidad. Como es sabido, sucede que las funciones pueden graficarse, de manera de poder analizarlas con rapidez. Igualmente, estos gráficos permiten entender el comportamiento de la proporción de manera más intuitiva.

proporcionalidad directa

Gráficas de proporcionalidad

En este caso, sucede que la gráfica de proporcionalidad directa es una línea recta ascendente hacia la derecha. Por lo general, esta línea recta tiene su origen en el origen de coordenadas. Es decir, hay un momento en el cual ambas magnitudes tienen un valor igual a cero (0). Todas las rectas de proporcionalidad directa pasan por el origen de coordenadas.

Un aspecto importante es considerar el ángulo de la recta respecto al eje Y. Mientras mayor sea este ángulo, implica que la diferencia entre las magnitudes constantes es mayor. Es decir, son más distintas entre sí, aunque exista una constante de proporcionalidad. De hecho, la tangente de ese ángulo es la constante de proporcionalidad.

Vale decirse que hay ciertas gráficas curvas, las cuales no son de proporcionalidad directa. Implica que va cambiando el ángulo respecto al eje Y. Para estos casos, se calculan derivadas en un determinado punto de la curva. En cada caso, cambia la razón de proporcionalidad entre las magnitudes.

Magnitudes

Hay ciertos tópicos que es menester aclarar respecto a la proporcionalidad. ¿A qué nos referimos? Queremos hacer énfasis en el léxico o vocabulario. Para ello, ya hemos hablado sobre el concepto de “constante de proporcionalidad”. Empero, hay que indicar lo que son las magnitudes implícitas en toda relación de proporcionalidad.

Una magnitud es una cantidad relacionada con otra en toda proporción. Por ende, deben aparecer siempre en pares. Nunca son aisladas y jamás se comportan de manera aislada en una proporción. Esa es una de las claves para detallarlas. Esa es la importancia de las mismas. Por ejemplo, para la realización de una regla de tres es menester tener al menos tres magnitudes involucradas.

Problemas de proporcionalidad directa

Una vez detallados los aspectos teóricos y de cálculo, toca ahora dar algunos ejemplos de problemas de proporcionalidad de tipo directa. Mencionaremos algunos casos a continuación.

PRIMER EJEMPLO

Un auto se desplaza entre dos ciudades a velocidad constante. Recorre 150 kilómetros en dos horas. Luego, con la misma velocidad va a otra localidad, la cual se encuentra a 200 kilómetros. ¿Cuánto tarda en llegar a ese otro lugar?

Vamos a resolver esto por medio del método de la regla de tres. Para ello, la planteamos de la siguiente manera:

150 kilómetros        tarda →    2 horas

200 kilómetros         tardará →    X (incógnita)

Procedemos ahora a realizar el cálculo respectivo, el cual se ejecuta de la siguiente manera para saber el resultado pesquisado:

proporcionalidad directa ejemplos y fórmulas

Se trata del caso de un móvil que se desplaza siempre a una velocidad constante. Es decir, no hay aceleración. En este caso, se trata de un problema de simple regla de tres, que se solventa con los criterios de la proporcionalidad directa.

SEGUNDO EJEMPLO

Los problemas relacionados con precios y magnitudes también se solventan usando los criterios de la proporcionalidad de tipo directa. Al respecto, vamos a dar el caso del coste de los precios de los granos. Verbigracia, sucede que un sacó de maíz de 12 kilos cuesta 18 euros. ¿Cuál es el precio de cuatro kilos de maíz?

Vamos a resolver este problema por el método de reducción a la unidad. Para ello, tomamos de referencia al hecho de que un saco de maíz cuesta 18 euros y además tiene una capacidad total de 12 kilos. En tal sentido, con una simple división podemos estimar el precio de un solo kilo de estos granos. Para ello hacemos el siguiente cálculo: 18 ÷ 12 =  1,5 euros.

Ahora que conocemos el precio de la unidad del kilo de maíz, corresponde hacer una simple multiplicación para saber el precio de 4 kilos. Para ello se efectúa la siguiente operación aritmética: 4 x 1,5 = 6 euros.

TERCER EJEMPLO

Otro buen ejemplo para hablar de proporcionalidad directa es el referente a temas de velocidad constante. Ya hemos hecho mención al respecto en párrafos anteriores este mismo texto. No obstante, vamos a indicar otros ejemplos. Tal es el caso de un ciclista que dos horas logra hacer un total de 8 vueltas a un determinado circuito. ¿Cuántas vueltas logrará hacer en tres horas?

Para resolver este problema, debemos asumir que el ciclista mantiene una velocidad constante. Para ello, vamos a estimar una constante de proporcionalidad. La misma se obtiene dividiendo la magnitud mayor (8 vueltas) entre la magnitud menor (2 horas), obteniendo lo siguiente:

proporcionalidad directa ejemplos y fórmulas

Una vez obtenida hasta constante, simplemente se debe plantear la siguiente fórmula con una incógnita:

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Ahora procedemos a despejar:

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Es fácil percatarse que procedimiento muy simple de ejecutar. Nuevamente, sucede que hay que estar claro en las magnitudes que participan en el proceso de proporcionalidad directa. Solo de esta manera se puede obtener un resultado positivo, sin márgenes de errores y que permite solucionar las incógnitas planteadas en el ejercicio.

Ejercicios

Vamos ahora a dar algunos otros ejemplos. Se trata de ejercicios prácticos, de manera que nuestros lectores puedan ensayar y trabajar lo tocante a la parte matemática de la proporcionalidad.

1) Un metro de tela cuesta 2,5 euros. No obstante, solo se necesita comprar medio metro de tela. ¿Cuánto se debe pagar? Para responder a esta incógnita, es necesario dejar en cuenta ciertos detalles. En primer lugar, que la mitad de un metro de tela se representa como 0,5 metros. Teniendo antes de cuenta, y como ya sabemos del precio de la unidad, simplemente procedemos a multiplicar:

0,5 x 2,5 = 1,25 euros

2) En un mapa la  escala indica que cada centímetro equivale a 100 metros. Por ende, una distancia de 17,3 centímetros a cuánto equivale en la realidad. En este caso, también ya tenemos todo reducido la unidad. Simplemente debemos hacer una multiplicación para obtener la respuesta a la duda planteada:

100 x 17,3 = 1730 metros.

3) Para hacer una aleación metálica se requiere combinar 2 partes de hierro con 1,5 partes de bronce. En este caso se cuenta con 800 gramos de hierro. ¿Qué cantidad de bronce se necesita para hacerla aleación de manera correcta?

El anterior es un típico problema de proporciones que se soluciona con facilidad teniendo en cuenta las herramientas antes mencionadas. En dado caso, lo mejor es utilizar una regla de tres. Para ello, usamos como magnitudes iniciales las partes que nos indica la fórmula de la lesión. Luego, nuestro tercer término son los 800 gramos de hierro.

proporcionalidad directa ejemplos y fórmulas

 

Con la fórmula ya planteada, lo que resta a realizar las operaciones aritméticas tocantes a toda regla de tres. Al respecto, el cálculo es el que mencionamos a continuación:

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Nuevamente vemos que los problemas de proporcionalidad directa son fáciles de realizar. Empero, siempre que tener en cuenta el correcto valor y razón de las magnitudes empleadas.

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