El tema de vectores se ve tanto en Matemáticas como en la Física, ellos se representan a través de un segmento de recta ubicado en un espacio tridimensional. En relación a ellos, existen algunos tipos de vectores, entre los que estudiaremos aquí los llamados vectores ortogonales y ortonormales, sus características y ejemplos.
Un vector en Matemáticas viene siendo un elemento ubicado en un espacio vectorial, esto se ve de manera abstracta. Además, su representación no puede ser a través de un módulo o dirección. Ahora bien, en la Física los vectores son considerados como segmentos ubicados en una recta, y se encuentran en un espacio bidimensional o tridimensional.
Los vectores pueden ser usados para describir fenómenos físicos, como la velocidad en la que anda un coche. En este caso, esta velocidad no bastaría con describirla en forma de número, haría falta indicar su dirección. Otro ejemplo de vector, sería el caso de la fuerza que se ejerce a un objeto, en el cual estaría involucrado su módulo, su dirección y su desplazamiento.
Qué son los vectores ortogonales
Formalmente se define vectores orotogonales cuando dos vectores U y V se encuentran de manera perpendicular entre sí y forman un ángulo de 90° (π/2). Por tal motivo, a este tipo de vectores también se les llama vectores perpendiculares.
Para saber si estos dos vectores son ortogonales su producto escalar o producto punto debe dar cero. Es decir, dos vectores U y V son ortogonales cuando forman un triángulo rectángulo y la suma de sus vectores dan como resultado a su hipotenusa.
Por ejemplo al tener los dos vectores con coordenadas U = (2,1) y V = (-1, 2), y graficarlos en el plano cartesiano quedaría de la siguiente manera:
El ángulo de 90° lo representaríamos con un pequeño cuadro entre los dos vectores. Para afirmar que estos vectores son vectores ortogonales no lo podemos demostrar mediante una gráfica, es necesario hacerlo a través de una fórmula. Debemos calcular el ángulo entre estos dos vectores (U y V) y verificar si da un ángulo de 90°, por lo cual se concluiría que son vectores ortogonales. Para ello calculamos el producto punto de U y V de esta manera:
U.V = (2)*(-1)+(1)*(2) = -2+2, entonces U.V = 0
Siempre que dos vectores forman un ángulo de 90° el producto punto de esos dos vectores será igual a 0. En este sentido, la siguiente propiedad aporta la definición:
Dos vectores U, V (distintos de cero) son ortogonales sí y solo sí U.V = 0
Características de los vectores ortogonales
Entre las características que poseen los vectores ortogonales son:
- Su producto escalar vale cero, es decir, dos vectores U, V (distintos de cero) son ortogonales sí y solo sí U.V = 0
- Están representados por dos vectores en el eje de coordenadas.
- Los dos vectores son perpendiculares y forman un ángulo de 90°, es decir, un ángulo recto.
Ejemplos de los vectores ortogonales
A continuación algunos ejemplos de vectores ortogonales:
Comprueba si los vectores U= (1, 2) y V = (-2, 1) son ortogonales.
Para determinar que son ortogonales es necesario que el producto punto (o producto escalar) de ambos vectores sea igual a cero: U.V = 0. Entonces resolvemos de la siguiente manera:
Tenemos U = (1, 2) y V = (-2, 1), debemos hallar U · V. Quedaría de esta manera:
U · V = (1)*(-2) + (2)*(1) = 0
Según el resultado podemos concluir que ambos vectores son ortogonales.
Comprobar que los vectores U = (2, 4, 5) y V = (-2, 3, 7) son perpendiculares.
Como en el ejemplo anterior debemos determinar que ambos vectores su producto escalar sea igual a cero, así: U.V = 0.
Entonces tenemos los dos vectores U = (2, 4, 5) y V = (-2, 3, 7). Apliquemos el producto escalar:
U· V = (2)*(-2) + (4)*(3) + (5)*(7) = -4 + 12 + 35 = 43
El resultado es diferente a 0 por lo cual los vectores no son ortogonales.
Dados dos vectores U = (2, a) y V = (3, -2), hay que determinar si ambos vectores son ortogonales.
Como ya sabemos, para que sean ortogonales o perpendiculares se debe cumplir que U.V = 0, entonces resolvemos de la siguiente manera: U · V = (2)*(3) + (a)*(-2) = 0
6 – 2a = 0
6 = 2a
6/2 = a
a = 3
Reemplazamos el valor de a en U.V y el resultado será igual a 0. Por lo cual los vectores son ortogonales.
Qué son los vectores ortonormales
Los vectores ortonormales son aquellos cuya premisa es que su producto escalar o producto punto debe ser igual a 0, y estos a su vez deben ser vectores unitarios. Es decir, es necesario que las siguientes condiciones se cumplan:
Ambos vectores deben ser ortogonal (deben formar un ángulo de 90°), y ambos vectores deben ser unitarios
Características de los vectores ortonormales
Entre las características de los vectores ortonormales están:
- Los vectores en cuestión deben ser ortogonales, es decir, entre ambos deben formar un ángulo de 90° (deben ser perpendiculares), además
- Sus vectores deben ser unitarios. Al respecto se dice que un vector es unitario cuando el valor de su módulo es igual a 1. Dicho módulo indica la longitud de un vector al ser representado en un gráfico.
Ejemplos de los vectores ortonormales
Como ejemplo de vectores ortonormales se tiene el conjunto T= (t1,t2,t3) donde t1=(1,0,0) t2=(0,1,0) y t3=(0,0,1).
Otro ejemplo es el siguiente: determinar que el siguiente conjunto es ortonormal:
Cada par de vectores viene siendo ortogonales, que es una de las condiciones para cumplir que sea ortonormales:
Además, es necesario que cada vector cumpla con ser unitario, sería de la siguiente manera:
Concluimos entonces que el conjunto propuesto es ortonormal.
Hasta aquí todo lo necesario en relación a los vectores ortogonales y los ortonormales. En efecto, según lo que se ha visto para identificarlos, ambos tipos reúnen ciertas características que al cumplirlas se hacen de cualquiera de los modos. En este sentido, los vectores ortogonales deben ser perpendiculares entre sí (tener un ángulo de 90°), y los ortonormales deben ser ortogonales y además, sus vectores deben ser unitarios. Esperamos quete haya servido de ayuda este post. Y te invitamos a seguir aprendiendo con este otro post dedicado a los vectores unitarios.
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