Factorización de polinomios. Ejercicios resueltos. En el área de la computación es muy frecuente que un polinomio sea mejor expresado cuando aparece como un conjunto de múltiplos. Lo mismo se hace al momento de calcular áreas o en determinadas fórmulas científicas. Por ello, hemos querido compilar en el presente post los conocimientos y ejemplo necesarios para aprender a factorizar un polinomio de manera correcta.
- Factorización de polinomios
- Ejercicio de factorización de polinomios
- Factorización de polinomios Ruffini
- Factorización de polinomios paso a paso
Factorización de polinomios
Antes de ver ejercicios de factorización de polinomios, será bueno saber con exactitud a que corresponden ya que la factorización de polinomios es un contenido matemático que reúne las técnicas para escribirlos como producto de monomios o incluso entre otros polinomios . Esta descomposición se basa en el teorema aritmético fundamental, que garantiza lo siguiente:
Cualquier número entero mayor que 1 puede descomponerse.
Las técnicas utilizadas para la factorización de polinomios – llamado casos de factorización – se basan en las propiedades de la multiplicación , especialmente en la propiedad distributiva. Los seis casos de factorización polinómica son los siguientes:
Factorización del primer caso: factor común en evidencia
Observa en el siguiente polinomio que hay un factor repetitivo en cada uno de sus términos.
4x + ax
Para escribir este polinomio como producto, coloca en evidencia este factor repetitivo. Para hacer esto, simplemente tienes que hacer el proceso inverso de la propiedad distributiva de la siguiente manera:
x (4 + a)
Ten en cuenta que al aplicar la propiedad distributiva a esta factorización, obtenemos precisamente el polinomio inicial. Aquí hay otro ejemplo de la factorización del primer caso:
4x 3 + 6x 2
4x 3 + 6x 2 = 2 · 2xxx + 2 · 3xx = 2xx (2x + 3) = 2x 2 (2x + 3)
Segundo caso de factorización: agrupación
Puede ser que al poner los factores comunes en pruebas , el resultado será un polinomio que también tiene factores comunes. Por lo tanto, debemos hacer un segundo paso: volver a poner en primer plano los factores comunes.
Por lo tanto, la factorización en grupo es una factorización doble por factor común.
Ejemplo:
xy + 4y + 5x + 20
En la primera factorización , destacaremos los términos comunes de la siguiente manera:
y (x + 4) + 5 (x + 4)
Ten en cuenta que el polinomio resultante tiene, en sus términos, el factor común x + 4. Poniéndolo en evidencia, tenemos:
(x + 4) (y + 5)
Factorización del tercer caso: trinomio cuadrado perfecto
Este caso, básicamente, es lo contrario de productos notables . Ten en cuenta el siguiente producto notable:
(x + 5) 2 = x 2 + 10x + 25
Al factorizar el trinomio cuadrado perfecto , escribimos polinomios expresados en esta forma como un producto notable. Aquí hay un ejemplo:
4x 2 + 12xy + 9y 2 = (2x + 3y) 2
Ten en cuenta que debemos asegurarnos de que el polinomio sea realmente un trinomio cuadrado perfecto para realizar este procedimiento.
Factorización del 4to caso: diferencia de dos cuadrados
Los polinomios conocidos como diferencia de dos cuadrados tienen la forma:
x 2 – a 2
Su factorización es el producto notable conocido como el producto de suma por diferencia . Observa el resultado de la factorización de este polinomio:
x 2 – a 2 = (x + a) (x – a)
5to caso de factorización: diferencia de dos cubos
Cada polinomio de grado 3 escrito en la forma x 3 + y 3 se puede factorizar de la siguiente manera:
x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2 )
6to caso de factorización: Suma de dos cubos
Cada polinomio de grado 3 escrito en la forma x 3 – y 3 se puede factorizar de la siguiente manera:
x 3 – y 3 = (x – y) (x 2 + xy + y 2 )
Para obtener más ejemplos e información sobre este caso de factorización , lea el texto Suma de cubos aquí .
Ejercicio de factorización de polinomios
La mejor manera de aprender a factorizar polinomios es con ejercicios. La matemática, y el álgebra en particular, requieren de bastante ejercitación. Por otra parte, se necesita aprender a reconocer los polinomios visualmente. De esa manera, se puede saber de qué múltiplos provienen y cómo se pueden sintetizar para trabajar con ellos de manera más sencilla.
Hay varias estrategias para lograr factorizar un polinomio. Vamos hablar de las más usuales en este caso. Para ello, hemos compilado los siguientes casos: 1) sacar el factor común, 2) la diferencia de cuadrados, 3) el trinomio cuadrado perfecto, 4) trinomio de segundo grado y 5) el caso de la regla de Ruffini.
Por factor común:
Vamos a empezar hablando del caso número uno. Nos referimos al uso del llamado factor común. En este caso, lo que se busca identificar el factor común a todas las partes que integran el polinomio. De este modo, dicha estructura puede expresarse como la multiplicación de un conjunto de factores. Por ejemplo:
36X2 -12×3+18x
En este caso, sucede que 6X es el máximo común divisor. Por ende, podemos expresar el polinomio de la siguiente manera:
36X2 -12×3+18x = 6x (6X -2x+ 3)
Esto se hace únicamente cuando no hay un término independiente, es decir, cuando no hay una variable que lo está haciendo multiplicada por un número. En estos casos, lo habitual es que el polinomio quede expresado como una multiplicación entre dos factores.
Por diferencias de cuadrados:
Es una estrategia bastante común. Consiste en saber identificar el resultado de los llamados productos notables. Hay que recordar que la fórmula de los productos notables, en el caso de la diferencia de cuadrados, es la siguiente: el cuadrado del primero, más del doble producto del cuadrado por el segundo, menos la diferencia del primero por el segundo más la multiplicación del primero por el segundo.
Lo antes dicho se expresa de la siguiente manera: (X +A) (X + B) = X2- (A+B)X + AB.
Por ejemplo, un polinomio con la siguiente expresión: X2-5X+6, puede entonces ser factorizado de la siguiente manera:
X2-5X+6 = (X-3) (X-2)
Trinomio cuadrado perfecto:
Muy similar al caso anterior. Sucede que quien va a realizar esta labor debe saber identificar el trinomio cuando lo observa. Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión de la forma A2 + 2AB + B2. Es necesario lograrlos identificar, ya que es la manera en que se puede actuar con la intención de hallar los factores que, multiplicados, dan lugar a dicho trinomio.
Se trata de un polinomio de tres términos. Como regla para su factorización se asumen la siguiente cadena de pasos:
- El trinomio debe ordenarse, en potencias descendentes según una determinada variable.
- Dos de los términos de ese binomio deben ser cuadrados perfectos.
- El segundo término debe ser igual al doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos.
- Es sumamente importante tener en cuenta los signos para saber hacer la factorización con rapidez y sin márgenes de error.
Vamos ahora a explicar algunos ejemplos para comprender mejor lo antes indicado:
Primer ejemplo: X2+6x + 6
En primera instancia, corroboramos que se trata de un polinomio de tres términos. A esto se añade que su primer tiene una raíz cuadrada fácil de identificar: x2 tiene como raíz cuadrada x.
Con base a lo antes dicho, el polinomio X2+6x + 6 se puede factorizar con la siguiente expresión: (x+2) (x+3).
Se necesita de cierta intuición y habilidad de cálculo para dominar la factorización de los polinomios de manera correcta. Esto conlleva a la necesidad de practicar mucho, siendo por ello que en el presente post hemos compilado una buena cantidad de ejercicios de polinomios. No obstante, antes hemos querido hacer un segmento especial haciendo esta factorización con la ayuda del proceso de Ruffini.
Factorización de polinomios Ruffini
También conocida con el nombre de teorema del resto, tiene la ventaja de que permite dividir con sencillez un polinomio por un binomio de la forma (x-a). Si este proceso da un resultado exacto, entonces el polinomio se puede expresar por medios de dos factores: el (x-a) y otro que se obtiene al efectuar la regla de Ruffini.
Para aplicar este método, es necesario colocar los factores que acompañan a las variables algebraicas del polinomio. Por ejemplo:
Vamos a dividir: X3 + X2-4
Entre la expresión: X + 1
Para aplicar Ruffini se toman los valores (se colocan en la zona superior los coeficientes del trinomio en la zona superior, y el único término de la otra expresión abajo); tal y como se indica a continuación:
Se colocan todos los términos, por eso aparece el cero. Hay que recordar que el polinomio queda de la siguiente manera: 2X3 +3X2 + 0X -4
Sucede que el valor -1 es resto de la división. Los demás, son los coeficientes de los polinomios. Por ende el resultado queda de la siguiente manera:
Al dividir: X3 + X2-4
Entre la expresión: X + 1
El resultado es: 2×3 + x2 –x -1, con un resto de 26.
La regla de Ruffini es bastante intuitiva ya que es un método por tanteos. No es una fórmula que se domina y arroja un resultado.
Factorización de polinomios paso a paso
Es frecuente que las personas se confundan realizando la Factorización de polinomios. Por ello, siempre es de gran utilidad tener algunos ejercicios resueltos paso por paso. Con fines eminentemente didácticos, hemos optado por mostrar algunos casos muy particulares de Factorización de polinomios. Esperamos que sean de gran utilidad para cada uno a nuestros lectores:
- Vamos a factorizar el polinomio: X2 + 2X
En este caso se aplica la norma del factor común, el cual sería con los siguientes pasos:
X2 + 2X = X (X+2)
- Vamos a factorizar el polinomio: 3X3 + 4Y3 + 2x – 18Y4
Lo primero es ordenar el polinomio de la siguiente manera = 3X3 + 2x + 4Y3– 18Y4 (ordenando las variables, las X y las Y).
Ahora, toca hacer un doble factor común:
3X3 + 2x + 4Y3– 18Y4 = x (3X2 + 2) + 2Y3 (2+9Y2)
- Otro caso de factorización por doble factor común: 4X3 +2X – 4X4 -2X2
Los pasos son: 4X3+2X – 4X4 -2X2 = 2X (2X2 + 1) – 2X2 (2X2 + 1) = (2X2 + 1) (2X -2X2)
A su vez, se puede dar un paso más en la factorización = (2X2 + 1) (2X -2X2) = (2X2 + 1) 2X (1 -X) = 2X (2X2 + 1) (1 -X)
Hay muchos otros casos de factorización de polinomios. Hemos compilado tan solo algunos ejemplos donde predomina la noción del factor común. No obstante recomendamos a nuestros lectores revisar otros casos donde se apliquen la Regla de Ruffini, así como la aplicación del trinomio cuadrado perfecto. La mejor manera de aprender a factorizar estos polinomios es con mucha práctica y reconocer los trucos para poder sintetizar los a una multiplicación entre factores.